[論文レビュー] Safe Recursion on Notation into a Light Logic by Levels

Luca Roversi, Luca Vercelli|arXiv (Cornell University)|May 4, 2010

Logic, programming, and type systems参考文献 13被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、多項式時間カット除去を備えた証明論的体系であるLight Affine Logic by Levels (LALL) へのSafe Recursion on Notation (SRN) の新しい埋め込みを提示する。再帰的型を用いてスコット語（2進数表現）を定義し、LALLの「かすれ」たパaragraphボックスを用いて安全な複製を可能にすることで、著者たちは各SRN項 t に対して、入力のビット長 ≤ l の入力に対して t をシミュレートする多項式サイズのネットの族 ⟨⌈t⌉ₗ⟩ を構成する。この埋め込みにより、一様的で整合的かつ複雑さが制御されたシミュレーションが達成される。

ABSTRACT

We embed Safe Recursion on Notation (SRN) into Light Affine Logic by Levels (LALL), derived from the logic L4. LALL is an intuitionistic deductive system, with a polynomial time cut elimination strategy. The embedding allows to represent every term t of SRN as a family of proof nets |t|^l in LALL. Every proof net |t|^l in the family simulates t on arguments whose bit length is bounded by the integer l. The embedding is based on two crucial features. One is the recursive type in LALL that encodes Scott binary numerals, i.e. Scott words, as proof nets. Scott words represent the arguments of t in place of the more standard Church binary numerals. Also, the embedding exploits the "fuzzy" borders of paragraph boxes that LALL inherits from L4 to "freely" duplicate the arguments, especially the safe ones, of t. Finally, the type of |t|^l depends on the number of composition and recursion schemes used to define t, namely the structural complexity of t. Moreover, the size of |t|^l is a polynomial in l, whose degree depends on the structural complexity of t. So, this work makes closer both the predicative recursive theoretic principles SRN relies on, and the proof theoretic one, called /stratification/, at the base of Light Linear Logic.

研究の動機と目的

• 予防的帰納法（SRN）と証明論的階層化（LALL）の間のギャップを埋める。これらは、暗黙的複雑度分野における2つの伝統的枠組みである。
• 従来の研究でILALが安全な引数の自由な複製を実現できなかったという制限を、より表現力の高い体系LALLにおいて克服する。これは、完全なSRNを実現する上で不可欠な要件である。
• SRN項をLALLネットの族として一様的で、構成的自然かつ複雑さが制御された表現として提供する。
• LALLが、構造的複雑さを保ちながら、全SRNを多項式サイズの制限内でシミュレートできることを示す。

提案手法

• LALLにおける再帰的型を用いて、スコット語（2進数表現）をネットとして符号化し、標準的なチャーチ数とは異なる。
• ML4から取り入れた「かすれ」たパラグラフボックスを用いて、SRNにおける安全な引数の自由な複製を可能にし、これは表記法における帰納法の実現に不可欠である。
• SRN項 t と入力長の上限 l を引数に取り、ネット ⌈t⌉ₗ を生成する2引数写像 ⌈·⌉ₗ を定義する。
• ⌈t⌉ₗ のサイズが O(l^∂(pt) × cmplx(t)) で抑えられることを確立する。ここで l についての多項式であり、次数は構造的複雑さ ∂(pt) に依存する。
• 型レベルの合成とカット除去を用いて、⌈t⌉ₗ がすべての長さ ≤ l の入力に対して t を正しくシミュレートすることを保証する。
• 各SRN項を、一様性と正しさを達成するため、ネット族 ⟨⌈t⌉ₗ⟩ₗ∈ℕ として表現する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Safe Recursion on Notation (SRN) は、多項式時間カット除去を備えたライト論理（Light Logic）に完全に埋め込めるか？
• RQ2 ILALにおける安全な引数の非自由な複製という障害は、より表現力の高い体系LALLでは克服可能か？
• RQ3 LALLにおけるスコット語と「かすれ」たパラグラフボックスの使用は、SRNの自然で一様的かつ複雑さが制御されたシミュレーションを可能にするか？
• RQ4 SRN項の構造的複雑さは、対応するLALLネットのサイズおよび型に反映されるか？
• RQ5 完全なSRNを、多項式時間の保証を失わずにライト論理におけるネット族として表現する方法はあるか？

主な発見

• 各ネット ⌈t⌉ₗ のサイズは、O(l^∂(pt) × cmplx(t)) で抑えられる。ここで ∂(pt) は出力多項式の次数、cmplx(t) は t の構造的複雑さを表す。
• ネット ⌈t⌉ₗ は、すべてのビット長 ≤ l の入力に対して t を正しくシミュレートする。これにより、埋め込みの整合性が保証される。
• 埋め込みは各SRN項 t を族 ⟨⌈t⌉ₗ⟩ₗ∈ℕ に写像し、入力サイズにわたる一様性を達成する。
• ⌈t⌉ₗ の型は、t に使われる合成および帰納スキームの数に依存し、構造的複雑さを反映する。
• このシステムは構成的である：⌈t⌉ₗ を ⌈x₁⌉ₗ,…,⌈yₛ⌉ₗ に適用すると、⌈t(x₁,…,xₙ;y₁,…,yₛ)⌉ₗ が得られる。
• 本手法により、挿入ソートなどの複雑なアルゴリズムをスコット語上で表現可能であり、基本的帰納法を越えた表現力が示された。