[論文レビュー] Sample path large deviations for a class of Markov chains related to disordered mean field models

Anton Bovier, Véronique Gayrard|ArXiv.org|May 5, 1999

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 8被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、境界付近を除き位置および時間に滑らかに依存する遷移確率を持つ格子上の離散時間マルコフ連鎖のクラスについて、スケーリングパラメータ $\varepsilon$ を用いた標本路の大偏差原理を確立する。レート関数は時間に依存するラグランジアンから導かれる作用関数として特定され、 quenched disorder を有する平均場モデルに対する厳密な大偏差枠組みを提供する。

ABSTRACT

We prove a large deviation principle on path space for a class of discrete time Markov processes whose state space is the intersection of a regular domain $Ł\subset \R^d$ with some lattice of spacing $\e$. Transitions from $x$ to $y$ are allowed if $\e^{-1}(x-y)\in \D$ for some fixed set of vectors $\D$. The transition probabilities $p_\e(t,x,y)$, which themselves depend on $\e$, are allowed to depend on the starting point $x$ and the time $t$ in a sufficiently regular way, except near the boundaries, where some singular behaviour is allowed. The rate function is identified as an action functional which is given as the integral of a Lagrange function. %of time dependent relativistic classical mechanics. Markov processes of this type arise in the study of mean field dynamics of disordered mean field models.

研究の動機と目的

• 格子上の小刻みな間隔 $\varepsilon$ を持つマルコフ連鎖のための大偏差原理を構築すること。
• このような系におけるレアな経路事象の指数的減衰率を特定すること。
• レート関数を時間に依存するラグランジアンから導かれる作用関数として同定すること。
• 境界付近での制御された特異性を有する時間的・空間的非一様な遷移確率を許容すること。
• 不規則な平均場スピン系におけるメタ安定性および経路的挙動を研究するための厳密な確率的基盤を提供すること。

提案手法

• 領域 $\Lambda \subset \mathbb{R}^d$ における $\varepsilon \mathbb{Z}^d \cap \Lambda$ 上のマルコフ過程を検討する。
• $x$ から $y$ への遷移は、$\varepsilon^{-1}(x - y) \in \Delta$ を満たす場合にのみ定義する。ここで $\Delta \subset \mathbb{Z}^d$ は固定された有限集合である。
• 遷移確率 $p_\varepsilon(t,x,y)$ が境界付近を除き時間 $t$ および位置 $x$ に対して滑らかに依存することを許容する。
• 経路空間上の大偏差原理を、指数的トランジット性の証明および変分公式によるレート関数の同定によって確立する。
• レート関数を時間に沿ったラグランジアンの積分として同定し、時間に依存する相対論的古典力学の作用に対応する。
• 弱収束法およびコンパクト性の議論を用いて、遷移核の弱い正則性条件のもとで大偏差原理を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 格子上における quenched disorder および空間的・時間的非一様性を有するマルコフ連鎖の標本路に対し、大偏差レート関数は何か？
• RQ2 平均場ダイナミクスの文脈において、レート関数は時間に依存するラグランジアンとどのように関係するか？
• RQ3 境界付近での遷移確率の特異性が存在するにもかかわらず、このような連鎖に対して大偏差原理を確立できるか？
• RQ4 格子間隔 $\varepsilon \to 0$ のとき、経路確率の漸近的挙動はいかなるものか？
• RQ5 作用関数は離散時間経路確率の極限としてどのようにして現れるか？

主な発見

• 経路空間上の大偏差原理は、時間に沿った時間に依存するラグランジアンの積分として与えられるレート関数をもって成立する。
• レート関数は、時間に依存する相対論的古典力学のハミルトニアンに対応する作用関数として特定される。
• 遷移確率の弱い正則性条件のもとで、離散時間マルコフ過程が連続作用関数に収束することが確立される。
• 経路測度の族の指数的トランジット性が証明され、大偏差原理の存在が保証される。
• 境界付近での遷移確率の特異的挙動が制御された条件下でも、本手法は有効に適用可能である。
• 本枠組みにより、メタ安定遷移を含む不規則な平均場スピン系におけるレアイベントの厳密な経路的記述が可能になる。