[論文レビュー] Sampling and cubature on sparse grids based on a B-spline quasi-interpolation

Ðinh Dũng|arXiv (Cornell University)|Nov 19, 2012

Mathematical Approximation and Integration参考文献 41被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、Besov型空間における非一様滑らかさをもつ関数に対して、Bスプラインの準補間を用いたスパースグリッド上での漸近的に最適な線形サンプリングアルゴリズムおよび積分型公式を構築する。最適回復誤差および積分誤差の正確な漸近的順序を確立し、構造的なスパースグリッドとBスプラインに基づく再構成を活用することで、最適収束率を達成する。

ABSTRACT

Let $X_n = \{x^j\}_{j=1}^n$ be a set of $n$ points in the $d$-cube $[0,1]^d$, and $Φ_n = \{φ_j\}_{j =1}^n$ a family of $n$ functions on $[0,1]^d$. We consider the approximate recovery functions $f$ on $[0,1]^d$ from the sampled values $f(x^1), ..., f(x^n)$, by the linear sampling algorithm \begin{equation} onumber L_n(X_n,Φ_n,f) \ := \ \sum_{j=1}^n f(x^j)φ_j. \end{equation} The error of sampling recovery is measured in the norm of the space $L_q([0,1]^d)$-norm or the energy norm of the isotropic Sobolev sapce $W^γ_q([0,1]^d)$ for $0 < q \le \infty$ and $γ> 0$. Functions $f$ to be recovered are from the unit ball in Besov type spaces of an anisotropic smoothness, in particular, spaces $B^a_{p,θ}$ of a nonuniform mixed smoothness $a \in {\mathbb R}^d_+$, and spaces $B^{α,β}_{p,θ}$ of a "hybrid" of mixed smoothness $α> 0$ and isotropic smoothness $β\in \mathbb R$. We constructed optimal linear sampling algorithms $L_n(X_n^*,Φ_n^*,\cdot)$ on special sparse grids $X_n^*$ and a family $Φ_n^*$ of linear combinations of integer or half integer translated dilations of tensor products of B-splines. We computed the asymptotic of the error of the optimal recovery. This construction is based on a B-spline quasi-interpolation representations of functions in $B^a_{p,θ}$ and $B^{α,β}_{p,θ}$. As consequences we obtained the asymptotic of optimal cubature formulas for numerical integration of functions from the unit ball of these Besov type spaces.

研究の動機と目的

• 高次元空間における非一様滑らかさをもつ関数に対して、漸近的に最適な線形サンプリングアルゴリズムおよび積分型公式を開発すること。
• Smolyak型グリッド上でのBスプライン準補間を用いたスパースグリッドの構築により、次元の呪いを克服すること。
• 混合かつ非一様滑らかさをもつBesov型空間に属する関数について、$ L_q $ およびSobolevエネルギーノルムにおける最適回復誤差の正確な漸近的順序を導出すること。
• 単位立方体 $[0,1]^d$ 上での数値積分のための最適積分型公式の漸近的順序を確立すること。
• 周期的および非周期的関数に対して非一様滑らかさをもつ場合のサンプリング回復および積分に関する先行研究を統合・拡張すること。

提案手法

• スパースグリッド上でのBスプライン準補間から導かれる関数族 $ ilde{oldsymbol{ heta}}_n $ を用いて、線形サンプリングアルゴリズム $ L_n(X_n, ilde{oldsymbol{ heta}}_n, f) = sum_{j=1}^n f(x^j) ilde{ heta}_j $ を構築する。
• スパースグリッド $ X_n^* $ を、Smolyak構成 $ ilde{oldsymbol{ heta}}_n = ext{span}\big\{ \text{Bスプラインのテンソル積} \} $ により定義し、グリッド点 $ x^j = 2^{-k}s $（$ k \neq 0 $, $ s \neq 0 $）を用いる。
• Besov型空間 $ B^{oldsymbol{eta}}_{p, heta} $ および $ B^a_{p, heta} $ に属する関数をBスプライン準補間表現で表現し、安定かつ高精度な再構成を可能にする。
• 補間および埋め込み定理を用いて、$ L_q $ およびSobolev $ W^ u_q $ ノルムにおける近似誤差を分析することで、最適誤差境界を導出する。
• サンプリング回復と積分型公式の双対性を応用し、再構成カーネルの積分により、サンプリングアルゴリズムから最適積分型公式を導出する。
• 不等式 $ i_n(W) \leq r_n(W)_1 $ を用いて、最適回復誤差と最適積分型公式誤差の漸近的同等性を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非一様滑らかさをもつ関数に対して、Besov型空間における最適サンプリング回復誤差の漸近的順序は何か？
• RQ2 Bスプライン準補間を用いて、スパースグリッド上での漸近的に最適なサンプリングアルゴリズムをどのように構築できるか？
• RQ3 スパースグリッド上での $ B^{oldsymbol{eta}}_{p, heta} $ および $ B^a_{p, heta} $ 空間関数の数値積分（積分型公式）の最適収束率は何か？
• RQ4 グリッド構造（スパースグリッド対フルグリッド）の選択が、高次元近似問題における収束率に与える影響は何か？
• RQ5 非一様滑らかさの文脈において、最適サンプリング回復誤差と最適積分型公式誤差の関係は何か？

主な発見

• 関数 $ f \to B^{oldsymbol{eta}}_{p\theta} $ に対して、$ L_q({\bf I}^d) $ もしくは $ W^\nu_q({\bf I}^d) $ 上での最適サンプリング回復の漸近的順序は、$ \beta > \nu $ の場合 $ r_n(U^{\boldsymbol{\beta}}_{p,\theta}, B^\nu_q) \asymp n^{-\alpha - (\beta - \nu)/d + (1/p - 1/q)_+} $、$ \beta < \nu $ の場合 $ n^{-\alpha - \beta + \nu + (1/p - 1/q)_+} $ である。
• $ B^a_{p,\theta} $（$ a \in \mathbb{R}^d_+ $）に対しては、最適サンプリング回復誤差は $ r_n(U^a_{p,\theta}, W^\nu_q) \asymp n^{-a_1 + (1/p - 1/q)_+} $ であり、最大滑らかさパラメータ $ a_1 $ に依存することが示される。
• $ U^{\boldsymbol{\beta}}_{p,\theta} $ の最適積分型公式誤差は、$ \beta > 0 $ の場合 $ i_n(U^{\boldsymbol{\beta}}_{p,\theta}) \asymp n^{-\alpha - \beta/d + (1/p - 1)_+} $、$ \beta < 0 $ の場合 $ n^{-\alpha - \beta + (1/p - 1)_+} $ である。
• $ B^a_{p,\theta} $ に対しては、最適積分型公式誤差は $ i_n(U^a_{p,\theta}) \asymp n^{-a_1 + (1/p - 1)_+} $ であり、収束率が最大滑らかさパラメータ $ a_1 $ のみに依存することを示している。
• 構築されたサンプリングアルゴリズムおよび積分型公式は、極値関数を用いた理論的下界と一致する誤差境界を有するため、漸近的に最適である。
• 本結果は、周期的および非周期的関数に関する先行研究を一般化・統合し、スパースグリッドとBスプライン準補間を用いて、非一様および混合滑らかさ空間への最適回復および積分の拡張を達成している。