[論文レビュー] Scalar conservation laws with rough (stochastic) fluxes

Pierre‐Louis Lions, Benoı̂t Perthame+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 8, 2013

Fluid Dynamics and Turbulent Flows参考文献 16被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、非線形的でmultiplicativeなrough path依存性を有するスカラー保存則に対する経路に沿った理論を確立し、経路に沿った確率的エントロピー解の概念を導入する。経路に沿った$L^1$-収縮を用いて存在性、一意性、連続的依存性を証明し、運動量保存の形式と流れの逆転を用いて、確率的粘性解理論を保存則に拡張する。

ABSTRACT

We develop a pathwise theory for scalar conservation laws with quasilinear multiplicative rough path dependence, a special case being stochastic conservation laws with quasilinear stochastic dependence. We introduce the notion of pathwise stochastic entropy solutions, which is closed with the local uniform limits of paths, and prove that it is well posed, i.e., we establish existence, uniqueness and continuous dependence, in the form of pathwise $L^1$-contraction, as well as some explicit estimates. Our approach is motivated by the theory of stochastic viscosity solutions, which was introduced and developed by two of the authors, to study fully nonlinear first- and second-order stochastic pde with multiplicative noise. This theory relies on special test functions constructed by inverting locally the flow of the stochastic characteristics. For conservation laws this is best implemented at the level of the kinetic formulation which we follow here.

研究の動機と目的

• 非線形的でmultiplicativeなrough path依存性を有するスカラー保存則に対する、強固で経路に沿った理論を構築すること。特に確率的状況において。
• 経路に沿った確率的エントロピー解の概念を定義し、厳密に確立し、経路の局所一様収束下での安定性を保証すること。
• 従来、ハミルトニアン・ジャコビ方程式に用いられてきた確率的粘性解フレームワークを、保存則の文脈に拡張すること。
• 期待値に基づくアプローチにおける伊藤積分の限界を克服し、ショックの保存に必要な境界を提供できないため、確率的経路に沿った$L^1$-収縮を、ほとんど確実な推定に代えて用いること。
• ショックや不連続性がフラックスに存在する場合でも、解に対して安定で、内在的な一意性枠組みを提供すること。

提案手法

• 非線形性とショックの扱いを古典的な弱解よりも効果的に行うために、保存則の運動量保存形式を採用する。
• 局所的流れの逆転を用いて構築されたテスト関数を適応することで、経路に沿った確率的エントロピー解を導入する。
• Doss-Sussmann型変換を用いて、rough path SCLを変数変換の下で、決定的運動量保存方程式に関連付ける。
• 経路に沿った$L^1$-収縮を用いて適切性を確立し、初期データおよび経路に対する連続的依存性を保証する。
• 特に、特異なテスト関数を特徴の流れから導出する、確率的粘性理論の技術を活用する。
• 運動量測度の挙動を解析することで、経路および初期データの摂動下での安定性と内在的一意性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 rough（確率的）フラックスを有するスカラー保存則に対して、安定性および一意性を保証する経路に沿ったエントロピー解の理論を構築できるか？
• RQ2 運動量保存形式を通じて、確率的粘性解フレームワークを保存則の文脈にどのように適応できるか？
• RQ3 なぜ伊藤積分のアプローチは、この文脈における経路に沿った一意性および安定性を確立するのに不十分なのか？
• RQ4 Doss-Sussmann変換は、rough path SCLを決定的運動量保存方程式にどのように関連付けるか？
• RQ5 rough path方程式から運動量保存形式への変換において、ショック構造はどのような条件下で保存されるか？

主な発見

• 本稿は、非線形的でmultiplicativeなrough path依存性を有するスカラー保存則に対して、経路に沿った確率的エントロピー解の存在性および一意性を確立する。
• 連続的依存性を保証する主要な安定性性質として、経路に沿った$L^1$-収縮が証明された。これは、初期データおよび経路の局所一様位相における連続的依存性を保証する。
• 理論は経路の局所一様極限に関して閉じており、ブラウン運動やその他のrough pathの近似に適している。
• ショックの保存に必要な境界を提供できないため、期待値に基づく推定に代えて伊藤積分を用いることは避け、ショックの保存に必要な境界を提供できない。
• 特徴の流れによる変換$u = \tilde{\rho}(v,t)$は、一般にショックを保存しない。これは、強制項が線形でない限り成立しない。したがって、単純なアプローチは無効である。
• 解の差の$L^1$-ノルムを制御する明示的推定が得られ、解概念の内在的安定性を確認した。