[論文レビュー] Scalar Field Theory in Curved Momentum Space

Laurent Freidel, Trevor Rempel|arXiv (Cornell University)|Dec 12, 2013

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 13被引用数 8

ひとこと要約

この論文は、標準的な $φ^3$-理論のフェ Feynman ルールを、非自明な運動量空間幾何を反映させるように変形することで、曲がった運動量空間における共変スカラー場理論を構築する。その後、新しい共変フーリエ変換を用いて非局所的作用を導出する。主な結果は、非局所的相互作用と、運動量空間における基点として原点を選ぶことで局所的とできる運動項を有する理論である。

ABSTRACT

We derive an action for scalar quantum field theory with cubic interaction in the context of relative locality. Beginning with the generating functional for standard $φ^3$--theory and the corresponding Feynman rules we modify them to account for the non--trivial geometry of momentum space. These modified rules are then used to reconstruct the generating functional and extract the action for the theory. A method for performing a covariant Fourier transform is then developed and applied to the action. We find that the transformed fields depend implicitly on a fixed point in momentum space with fields based at different points being related by a non-local transformation. The interaction term in the action is also non--local, but the kinetic term can be made local by choosing the base point to be the origin of momentum space.

研究の動機と目的

• 相対的局所性フレームワークを拡張するために、$̂$ を再導入し、曲がった運動量空間における量子場理論を構築すること。
• 相対的局所性において、以前は古典的・重力的でない物理学に限られていたが、その枠組みにおける量子場理論の定式化が欠落しているという問題に取り組むこと。
• 曲がった運動量空間の幾何を保つ共変フーリエ変換法を開発すること。
• 変形されたフェインマンルールから作用を再構成し、運動量空間微分同相変換に対して共変性を保証すること。
• 得られた作用の構造、特に運動項と相互作用項の局所性の性質を特定すること。

提案手法

• 平坦な運動量空間における標準的 $φ^3$-理論の生成関数およびフェインマンルールから出発する。
• 運動量空間における非線形加法則 $⊕$ と非自明な計量および接続を組み込むようにフェインマンルールを変形する。
• 変形されたルールから生成関数を再構成し、運動量空間における対応する作用を抽出する。
• 運動量空間における基点 $p'$ を用いた、体積形式と接続に依存する位相因子を用いた共変フーリエ変換を開発する。
• 変換を作用に適用し、基点 $p'$ に間接的に依存する場が得られ、異なる基点間で非局所的場再定義が生じることを示す。
• 運動量空間におけるデルタ関数の表現を用いて、フーリエ核のプロジェクターおよび像の性質を検証し、変換の一貫性を確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 相対的局所性フレームワークが要請する非自明な幾何を持つ運動量空間において、量子場理論を一貫してどのように定式化できるか？
• RQ2 曲がった運動量空間における三次数相互作用を有するスカラー場理論の作用の構造は何か？
• RQ3 曲がった運動量空間の微分同相変換に対して共変となるフーリエ変換はどのように構築できるか？
• RQ4 基点 $p'$ が場の配置とそれらの非局所的関係を定義する上で果たす役割は何か？
• RQ5 非自明な運動量空間幾何がある中で、運動項をどのように局所化できるか？

主な発見

• 時空における再構成された作用は、曲がった運動量空間幾何のため非局所的であり、特に相互作用項が明示的に非局所的である。
• 基点 $p'$ を運動量空間の原点に選ぶことで、運動項を局所化できる。
• 運動量空間における異なる基点に定義された場は、非局所的変換で関係づけられ、連続的な量子場理論の族が存在することを示唆する。
• 共変フーリエ変換は、運動量空間の体積形式と接続に依存する位相因子を用いて構築され、微分同相変換に対して共変性を保証する。
• 運動量空間におけるデルタ関数の表現がプロジェクターとして確認され、フーリエ変換と同じ像を持つことが示され、変換の一貫性が裏付けられる。
• 理論の非局所性は、変形された加法則 $⊕$ に起因する非可換かつ非結合的な $⋆$-積が相互作用項に現れることにエンコードされている。