[論文レビュー] Scalar Material Reference Systems and Loop Quantum Gravity

Kristina Giesel, Thomas Thiemann|arXiv (Cornell University)|Jun 17, 2012

Noncommutative and Quantum Gravity Theories参考文献 22被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、スカラー物質基準系を用いたループ量子重力の縮小位相空間量子化を提案する。具体的には、アーベル的超曲面変形代数をもたらす、最小結合スカラー場を用いた新規モデルを提示する。ゲージ不変な観測量から真のハミルトニアンを構成することで、ループ量子重力の手法を用いた一貫した量子化が可能となり、制約の間にゼロとなるポアソン括弧を持つ、完全に制約付きの第一級系が達成される。

ABSTRACT

In the past, the possibility to employ (scalar) material reference systems in order to describe classical and quantum gravity directly in terms of gauge invariant (Dirac) observables has been emphasised frequently. This idea has been picked up more recently in Loop Quantum Gravity (LQG) with the aim to perform a reduced phase space quantisation of the theory thus possibly avoiding problems with the (Dirac) operator constraint quantisation method for constrained system. In this work, we review the models that have been studied on the classical and/or the quantum level and parametrise the space of theories so far considered. We then describe the quantum theory of a model that, to the best of our knowledge, so far has only been considered classically. This model could arguably called the optimal one in this class of models considered as it displays the simplest possible true Hamiltonian while at the same time reducing all constraints of General Relativity.

研究の動機と目的

• スカラー物質基準系（時計と定規としての機能を果たす）を用いた、一般相対性理論の明示的ゲージ不変な形式の構築。
• 制約付き系のディラック量子化における課題を、量子化の前に位相空間を縮小することで克服すること。
• アーベル的制約代数をもたらす、新規クラスのモデル（特に最小結合スカラー場）の特定と分析。
• 従来は古典的にのみ研究されてきたモデルに対して、量子理論を提供すること。このモデルは、その単純さと完全な制約縮小性から、最適であると主張される。
• 縮小位相空間におけるディラック観測量の構築および制約代数の閉包を保証するフレームワークの確立。

提案手法

• 重力に対する純粋な微分結合を持つスカラー場を用い、ハミルトニアン制約が $ C^{ m tot}(x) = P(x) + h(x) $ の形をとることを示す。ここで $ P $ は時計場 $ T $ の共共役運動量である。
• 一般解 $ h(x) $（密度重み1）をもつ一次偏微分方程式を解くために特性法を用い、先行モデルを拡張する。
• 文献[12,13]のプロジェクターフォーマルダを用い、無限級数のポアソン括弧を介して、ゲージ不変でない関数から弱い意味でゲージ不変な観測量を構成する。
• 全ハミルトニアン制約 $ C^{ m tot}[f] $ が、空間微分同型変換およびゲージ制約と組み合わせて、超曲面変形代数に従ってポアソン括弧の下で閉じることを示す。
• スカラー場の力学から導かれる新しい種類の制約 $ C_{ m GD} $ を導入し、代数的閉包に非自明に寄与する。
• 特性法と常微分方程式を用いて、与えられた解 $ h(x) $ から元の共変ラグランジアンを再構成する。これにより、モデルの体系的分類が可能となる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 重力に純粋な微分結合を持つスカラー場が、縮小位相空間において完全にアーベル的制約代数をもたらすか。
• RQ2 スカラー基準系モデルにおいて、互いに可換となる制約をもたらすハミルトニアン密度 $ h(x) $ の一般形は何か。
• RQ3 与えられた一次偏微分方程式の解 $ h(x) $ から、制約代数のための共変ラグランジアンを体系的に再構成する方法は何か。
• RQ4 最小結合スカラー場を持つモデルが、一般相対性理論のすべての制約を縮小しつつ、最も単純な真のハミルトニアンを提供するか。
• RQ5 第二級制約が存在する場合、全制約代数は閉じるか。もしそうならば、閉包を保証するために全制約をどのように修正できるか。

主な発見

• 最小結合スカラー場を持つモデルは、真のハミルトニアン制約 $ C^{ m tot}(x) = P(x) + h(x) $ をもたらす。ここで $ h(x) $ は幾何学的および物質変数から構成される重み1のスカラー密度である。
• 得られる制約代数はアーベル的であり、$ \big\backslash\big\backslash \{ C^{ m tot}[f], C^{ m tot}[f'] \big\} = -C_a^{ m tot}[q^{ab}(f f'_{,b} - f' f_{,b})] $ を満たし、超曲面変形代数を満たす。
• スカラー場の力学から導かれる制約 $ C_{ m GD} $ は代数に非自明に寄与し、自身とのポアソン括弧はゼロでないが、全代数的構造では相殺される。
• 特性法により、$ h(x) $ の一次偏微分方程式が成功裏に解かれ、ドライストンやラグランジュ乗数場といった先行モデルの既知の解を一般化する。
• 逆問題（与えられた $ h(x) $ からラグランジアンを再構成する）は、常微分方程式を介して暗黙的に解かれる。これにより、すべての解が微分結合を持つ共変スカラー場作用から生じることが示される。
• 第二級ペア $ (z_I, \theta_I) $、$ (z, K) $、および $ (z_3, s) $ を含む全制約系は、$ C^{ m tot} $ に適切な線形結合を加えることで第一級にできる。これにより、閉包が保証される。