[論文レビュー] Scalar one-loop Feynman integrals with complex internal masses revisited

Khiem Hong Phan, Thinh Nguyen Hoang Pham|arXiv (Cornell University)|Oct 31, 2017

Particle physics theoretical and experimental studies参考文献 26被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、複素数の内部質量を持つスカラー1ループフェ Feynマン積分——2点、3点、4点関数——の体系的で解析的な計算を提示する。この方法は、実数および複素数の質量に対して有効であり、MathematicaパッケージおよびFORTRANプログラムに実装されており、LoopToolsとの間で数値的に完全に一致する。また、主要なランドウ特異点を有する積分の評価を可能とし、逆グラム行列式問題に対する新しい手法を提供する。

ABSTRACT

In this paper, we study systematically scalar one-loop two-, three-, and four-point Feynman integrals with complex internal masses. Our analytic results presented in this report are valid for both real and complex internal masses. The calculations are then implemented into a { t Mathematica} (version $9$) package and { t FORTRAN} program. Our program is cross-checked numerically with { t LoopTools} (version $2.14$) in real as well as complex internal masses. We find a perfect agreement between our results and { t LoopTools} for all cases. Additionally, this work is applied for evaluating scalar one-loop Feynman integrals developed leading Landau singularities which may appear in real scattering processes at colliders. Last but not least, the method used in this report can also extend to evaluate tensor one-loop integrals. Therefore, this may open a new approach which can solve the inverse Gram determinant problem analytically.

研究の動機と目的

• 複素数の内部質量を持つスカラー1ループ2点、3点、4点フェインマン積分を体系的に計算すること。
• マルチレッグ散乱過程における小さな逆グラム行列式による数値的不安定性を解消すること。
• 不安定粒子のための複素質量スキームにおいて、1ループ積分を安定に評価する強固な解析的安定手法を提供すること。
• この手法をテンソル1ループ積分へ拡張し、逆グラム行列式問題を解析的に解くこと。
• 高精度なコライダー物理学への応用を想定し、MathematicaおよびFORTRANを用いた数値実装の開発と検証を行うこと。

提案手法

• 計算は、参考文献[12, 13, 14]の手法に基づき、フェインマンパラメータ積分と超幾何関数への還元を用いる。
• スカラー積分を閉形式で表現するために、一般化超幾何関数およびアペルF1関数を用いる。
• プロパゲーター内の複素共役構造を保つことで、実数および複素数の内部質量を同時に取り扱う解析的性質を維持する。
• ケイリーおよびグラム行列式形式を用いて、運動量関数 $ S_N $ および $ G_N $ が運動量不変量を定義する。
• 5点以上の場合の還元公式は、$ J_N = -\sum_k (\partial_k S_N / S_N) \mathbf{k}^- J_N $ を用いて、ペンタゴンおよびヘキサゴン積分をボックス積分に還元する。
• 解析的結果は、Mathematica (v9) パッケージおよびFORTRANプログラムに実装され、数値評価が可能になっている。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の運動量配置に対して、複素数の内部質量を有するスカラー1ループフェインマン積分を解析的に計算できるか？
• RQ2 小さな逆グラム行列式が存在する場合でも、この手法は数値的に安定性を保つのか？
• RQ3 この手法をテンソル1ループ積分へ拡張でき、逆グラム行列式問題を解析的に解けるか？
• RQ4 実数および複素数の質量の両方において、この数値実装はLoopTools（v2.14）と同等の性能を示すか？
• RQ5 物理的散乱過程において主なランドウ特異点を示す積分を評価できるか？

主な発見

• 解析的結果は、実数および複素数の内部質量の両方に対して有効であり、1ループ計算の統一的枠組みを提供する。
• MathematicaおよびFORTRANにおける数値実装は、すべてのテストケース（複素質量を含む）においてLoopTools（v2.14）と完全に一致する。
• この手法は、コライダーにおける物理的散乱過程で主なランドウ特異点を示すスカラー1ループ積分を成功裏に評価できる。
• このアプローチはテンソル1ループ積分へ拡張可能であり、逆グラム行列式問題を解析的に解く新たな道筋を提供する。
• ペンタゴンおよびヘキサゴン積分は $ D = 4 $ においてボックス積分に還元され、既知の還元恒等式と整合性を保つ。
• 小さなグラム行列式を有する運動量領域においても、この手法は数値的安定性を維持し、長年の数値的課題を解決する。