[論文レビュー] Scalar vacuum structure in general relativity and alternative theories. Conformal continuations

К. А. Бронников|arXiv (Cornell University)|Oct 31, 2001

Cosmology and Gravitation Theories参考文献 2被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、一般相対性理論および代替重力理論（スカラータンスラ・重力および高次元重力）における静的・球対称なスカラーフィールド真空解のグローバル因果的構造を調査し、特に対称的変換が特異面を越えて正則な拡張を可能にするのは、厳密な条件下でのみであることを示している。主な結果は、アインシュタイン架空で特異性を示すものがジョルダン架空で正則な表面に写されるような共形的拡張が可能となるのは、共形因子または曲率関数に特定の高次元のゼロが存在する場合に限られ、そうでない場合には定数スカラーフィールドの場合と同様にグローバル構造が制限されることである。

ABSTRACT

We discuss the global properties of static, spherically symmetric configurations of a self-gravitating real scalar field $ϕ$ in general relativity (GR), scalar-tensor theories (STT) and high-order gravity ($L=f(R)$) in various dimensions. In GR, for fields with arbitrary potentials $V(ϕ)$, not necessarily positive-definite, it is shown that the list of all possible types of space-time causal structure in the models under consideration is the same as the one for $ϕ= const$. In particular, there are no regular black holes with any asymptotics. These features are extended to STT and $f(R)$ theories, connected with GR by conformal mappings, unless there is a conformal continuation, i.e., a case when a singularity in a solution of GR maps to a regular surface in an alternative theory, and the solution is continued through such a surface. This effect is exemplified by exact solutions in GR with a massless conformal scalar field, considered as a special STT. Necessary conditions for the existence of a conformal continuation are found; they only hold for special choices of STT and high-order theories of gravity.

研究の動機と目的

• 一般相対性理論および代替重力理論における静的・球対称なスカラーフィールド真空解が、定数スカラーフィールドの場合に知られているものよりも豊かなグローバル因果的構造を示すかどうかを特定すること。
• 共形写像が一般相対性理論とスカラータンスラ・重力および高次元重力理論を結びつける役割を果たす仕組みを分析し、特異面を越えて正則な拡張が可能かどうかを検討すること。
• アインシュタイン架空の特異性がジョルダン架空の正則表面に写されるような共形的拡張が成立するための必要十分条件を特定し、時空解のグローバル構造を拡張すること。
• 特定の条件が満たされない限り、代替重力理論における解の因果的構造は、一般相対性理論における定数スカラーフィールドの場合と同様に制限されることを確立すること。

提案手法

• アインシュタイン架空（最小的カップリングを持つスカラーフィールドを伴う一般相対性理論）とジョルダン架空（スカラータンスラ・重力または高次元重力理論）を結ぶために共形写像を用い、それに応じて場の運動方程式を変換する。
• スカラーフィールド真空状態をモデル化するため、D次元で $ S = \int d^Dx \sqrt{|g|} \left[ R + (\partial\varphi)^2 - 2V(\varphi) \right] $ の作用を適用する。
• 特にアインシュタイン架空における臨界面（例：$ \rho = 0 $）の近傍で計量関数およびスカラーフィールドの振る舞いを分析し、$ A(\rho) $、$ r(\rho) $、$ F(\varphi) $ の漸近的挙動に注目する。
• アインシュタイン架空で特異な表面（例：曲率特異性）が共形因子 $ F(\varphi) \sim e^{\sqrt{2/3}\varphi} $ の下でジョルダン架空で正則な表面に写される条件を導出する。特に $ \varphi \to \infty $ のときの挙動を分析する。
• ホライズンや球面を越えた拡張の可能性を検討し、$ A(\rho)F(\varphi) $ のゼロの次数および高次元重力における $ R $ と $ f(R) $ の挙動を分析する。特に $ f(R) $ が $ R = R_0 \neq 0 $ で少なくとも2次元のゼロを持つ必要があることを要請する。
• 先行研究の定理（定理3）を適用し、可能な因果的構造のリストを制限し、共形的拡張が発生しない限り、有限個の構造しか許されないことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 アインシュタイン架空における時空特異性が共形変換によってジョルダン架空の正則表面に写される条件は何か？
• RQ2 スカラータンスラ・重力および高次元重力理論における静的・球対称なスカラーフィールド真空解のグローバル因果的構造は、定数スカラーフィールドを伴う一般相対性理論の場合とどのように異なるか？
• RQ3 ジョルダン架空における球面やホライズンを越えて共形的拡張が成立するための必要条件は何か、特にスカラータンスラ・重力および高次元重力の文脈で。
• RQ4 これらの理論において、正則なブラックホールやウォームホールに類似した解が存在可能か？ その場合、ポテンシャルや曲率関数にどのような特定の制約が必要か？
• RQ5 なぜ共形的拡張は多くのスカラータンスラ・重力および高次元重力理論では失敗するのか？ そして、例外的な場合にのみ可能となるのは、どのような点で異なるのか？

主な発見

• アインシュタイン架空の特異性がジョルダン架空の正則表面に写される共形的拡張は、共形因子または曲率関数に厳密な条件が満たされる場合にのみ可能である。
• スカラータンスラ理論では、表面 $ \phi = \phi_0 $ を越えての拡張が可能となるのは、ポテンシャル $ U(\phi) $ が $ \phi_0 $ で奇数次元のゼロを持ち、かつ $ f(\phi_0) = 0 $、$ df/d\phi(\phi_0) \neq 0 $ である場合に限られる。
• 高次元重力理論では、表面 $ R = R_0 $ を越えての拡張が可能となるのは、$ f(R) $ が $ R_0 \neq 0 $ で少なくとも2次元のゼロを持ち、かつ $ V(\varphi) \sim 1/\sqrt{\rho} $ が特異性近傍で成り立つ場合に限られる。
• 一般的なスカラータンスラ・重力および高次元重力理論では、共形的拡張は発生せず、グローバル因果的構造は定数スカラーフィールドの場合と同様に制限され、正則なブラックホールやウォームホールは存在しない。
• ホライズンを越えての唯一の実現可能な拡張は、アインシュタイン架空の解全体がT領域（時間的領域）にある場合に限られ、このときスカラーポテンシャルは $ \rho = 0 $ 近傍で $ V(\varphi) \sim 1/\sqrt{\rho} $ と振る舞う必要がある。
• これらの結果は、多くの代替重力理論（スカラータンスラおよび高次元重力）が、ポテンシャルや曲率関数に特定の微調整された条件が満たされない限り、一般相対性理論における最小的カップリングを持つスカラーフィールドと同様にグローバル構造の制約を引き継ぐことを示唆している。