[論文レビュー] Scale-free localization and PT symmetry breaking from local non-Hermiticity

Bo Li, He-Ran Wang+2 more|arXiv (Cornell University)|Feb 8, 2023

Quantum Mechanics and Non-Hermitian Physics参考文献 44被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、1次元ヒルベルト格子系における局所的非エルミート的摂動が一般にスケールフリーな局在を引き起こすことを示しており、固有状態の崩壊長が系のサイズに比例する。摂動が境界から有限距離に位置する場合、さらに指数関数的に局在する束縛状態が生成される。特に、$PT$対称性の破れは常にこの局在と一致し、バンド構造基準により$PT$対称性の破れのエネルギー窓が正確に予測可能である。

ABSTRACT

We show that a local non-Hermitian perturbation in a Hermitian lattice system generically induces scale-free localization for the continuous-spectrum eigenstates. When the perturbation lies at a finite distance to the boundary, the scale-free eigenstates are promoted to exponentially localized modes, whose number is proportional to the distance. Furthermore, when the local non-Hermitian perturbation respects parity-time (PT) symmetry, the PT symmetry breaking is always accompanied by the emergence of scale-free or exponential localization. Intriguingly, we find a concise band-structure condition, which tells not only when the continuous-spectrum PT breaking of scale-free modes can occur, but also the precise PT-breaking energy window. Our results uncover a series of unexpected generic phenomena induced by a local non-Hermitian perturbation, which has interesting interplay with PT symmetry.

研究の動機と目的

• 1次元ヒルベルト格子系における固有状態の局在に及ぼす局所的非エルミート的摂動の影響を調査すること。
• 非エルミート項が局所化されている場合、そのような系において$PT$対称性の破れがどのようにして出現するかを特定すること。
• スケールフリーな局在を示す系に対して、一般化されたバンド構造に基づく$PT$対称性の破れを予測する基準を確立すること。
• 局所的非エルミート性下で、スケールフリーな局在と指数関数的局在のメカニズムの相互作用と$PT$対称性の破れの関係を明確にすること。
• 光学格子や結合キャビティアレイなどの実験的プラットフォームに適用可能な理論的枠組みを提供すること。

提案手法

• 開放的境界条件の下で、境界に局所的非エルミート項を含むヒルベルトタイトバインディングハミルトニアン、例えば$ H = \tsum_{j} t(|j\rangle\langle j+1| + |j+1\rangle\langle j|) + ig|1\rangle\langle 1| $を用いて系をモデル化する。
• 固有状態問題を、アンザッツ$ \psi_j(\beta) = c_1 \beta^j + c_2 \beta^{-j} $を用いて解き、スペクトルを決定する特徴方程式を導出する。
• スケールフリーな局在の条件を、$ |\beta|^L \sim O(1) $の漸近的挙動を解析することで導出する。これは$ |\beta| \simeq e^{c/L} $を意味し、系サイズ$ L $に比例する崩壊長を示す。
• 有限距離に位置する非エルミート的不純物を導入し、指数関数的に局在する束縛状態を生成する。この状態の数は境界からの距離に比例する。
• エネルギースペクトルと対称性制約（特に摂動が$PT$対称性を保つ場合）に基づいて、$PT$対称性の破れを予測するバンド構造基準を適用する。
• 特に簡併性が存在する場合、反対のパリティモードの部分空間における有効な2レベルハミルトニアンを用いて、特異点を介した$PT$対称性の破れを分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ヒルベルト格子系における局所的非エルミート的摂動は、連続スペクトル固有状態に対してスケールフリーな局在を引き起こすか？
• RQ2 境界からの有限距離に位置する局所的非エルミート的不純物が、どのような条件下で指数関数的に局在する束縛状態を生成するか？
• RQ3 このような系において$PT$対称性の破れは、スケールフリーまたは局在するモードの出現とどのように関係しているか？
• RQ4 局所的非エルミート性を示す系において、バンド構造に基づく一般化された予測基準は$PT$対称性の破れを特定できるか？
• RQ5 簡併部分空間における有効な低エネルギーハミルトニアンを通じて、局在と$PT$対称性の破れの相互作用を理解できるか？

主な発見

• 境界に局所的非エルミート的摂動を施すと、固有状態の空間的崩壊長が系サイズ$ L $に比例するスケールフリーな局在が生じる。これは系の絶対的スケールに依存しない。
• 非エルミート項が境界から有限距離$ d $に位置する場合、系は$ d $個の指数関数的に局在する束縛状態を支持する。その局在長および占有数は$ L $に依存しない。
• $PT$対称性の破れは一般に、スケールフリーまたは指数関数的に局在するモードの出現と併存し、$PT$対称性摂動下では両者とも切り離せない。
• スケールフリーなモードに対して、$PT$対称性の破れの発生とエネルギー窓を一意に決定する簡潔なバンド構造基準が存在し、開放的境界条件のもとで有効である。
• 非エルミート的摂動が逆変換反対称的であり、反対のパリティを持つ簡併モードを結合する場合、$PT$対称性の破れの閾値はゼロになる。これは、増幅/減衰が任意に小さくても$PT$対称性の破れが可能であることを意味する。
• 数値的および解析的結果により、$PT$破れモードは空間的に局在しており、系の中心からずれていることが確認された。一方、固有状態の平均位置は$PT$破れモードの場合にのみ変化する。