[論文レビュー] Scaling of many-particle correlations in a dissipative sandpile

Николай Михайлович Боголюбов, A. G. Pronko+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 28, 2011

Theoretical and Computational Physics参考文献 26被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、2次元の方向性を持つ散逸的サンドプイルにおけるアバランチ中にK個の粒が初期順序を保つ条件付き確率の正確な解を導出している。この問題は、離散時間を持つ(1+1)次元系に写像され、非自明なスケーリングを示す。これはべき則の減衰を示し、その指数はKに対して非線形的に依存する。また、『ランダムターン』型の邪悪なウォークァー・モデルおよびヘイゼンベルクXXスピン鎖の相関関数との正確な同等性を確立し、ジョルダン＝ウィグナー変換を介してサンドプイルの力学とフェルミオン系の自由フェルミオン系を結びつける。

ABSTRACT

The two dimensional directed sandpile with dissipation is transformed into a (1+1) dimensional problem with discrete space and continuous `time'. The master equation for the conditional probability that K grains preserve their initial order during an avalanche can thereby be solved exactly, and an explicit expression is given for the asymptotic form of the solution for an infinite as well as for a semi-infinite lattice in the horizontal direction. Non-trivial scaling is found in both cases. This conditional probability of the sandpile model is shown to be equal to a K-spin correlation function of the Heisenberg XX spin chain, and the sandpile problem is also shown to be equivalent to the `random-turns' version of vicious walkers.

研究の動機と目的

• 散逸的サンドプイル・モデルにおける多粒子相関のスケーリング行動を理解すること。
• アバランチ中にK個の粒が初期順序を保つ条件付き確率の正確な解析的表現を導出すること。
• サンドプイル・モデル、『ランダムターン』型邪悪なウォークァー問題、およびヘイゼンベルクXXスピン鎖との関係を確立すること。
• 非ゼロの散逸がスケーリング行動に与える影響を分析すること、特に指数的カットオフと非線形的にKに依存するスケーリング指数を通じて。
• サンドプイルの条件付き確率がヘイゼンベルクXXスピン鎖における多スピン相関関数と等価であることを示し、自由フェルミオン系と結びつけること。

提案手法

• 散逸を伴う2次元の方向性サンドプイルを、離散時間と離散空間格子を持つ(1+1)次元問題に変換する。
• K個の粒がアバランチ中に初期順序を保つ条件付き確率のマスター方程式を正確に解く。
• 鞍点近似と漸近的解析を用いて、離散的多粒子確率の時間大での挙動（n→∞）を導出する。
• 生成関数技術を用いて、サンドプイルの条件付き確率とK個の『ランダムターン』型邪悪なウォークァーの分配関数との同等性を確立する。
• ジョルダン＝ウィグナー変換を用いて、同一の条件付き確率がヘイゼンベルクXXスピン鎖におけるKスピン相関関数に等しいことを証明する。
• 無限大および半無限大格子幾何における解析を行い、境界条件がスケーリング指数に与える影響を比較する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 散逸的サンドプイル・モデルにおける多粒子相関はどのようにスケーリングするか？
• RQ2 アバランチ中にK個の粒が初期順序を保つ条件付き確率の正確な形は何か？
• RQ3 非ゼロの散逸は、条件付き確率のスケーリング行動にどのように影響を与えるか？
• RQ4 サンドプイル・モデルと『ランダムターン』型邪悪なウォークァー問題との関係は何か？
• RQ5 サンドプイルの条件付き確率は、ヘイゼンベルクXXスピン鎖の相関関数とどのように関係しているか？

主な発見

• K個の粒が初期順序を保つ条件付き確率は、時間大でのスケーリングとしてべき則 ∼n^−γ に従い、そのスケーリング指数γはKに対して非線形的に依存する。
• 無限大格子では、式(3.13)で導出されたスケーリング指数γが与えられ、半無限大格子では式(3.24)が適用され、境界効果の違いが明確に現れる。
• 非ゼロの散逸は、条件付き確率の漸近的形に指数的カットオフを導入し、べき則の減衰を変更する。
• 条件付き確率は、K個の『ランダムターン』型邪悪なウォークァーの分配関数に正確に等しく、このよく知られた確率的モデルとの直接的な関係を確立する。
• 同一の条件付き確率は、ヘイゼンベルクXXスピン鎖におけるKスピン相関関数として特定され、ジョルダン＝ウィグナー変換を通じて自由フェルミオン系と深い関係があることを示唆する。
• nが大きい極限における離散的多粒子確率は、連続時間の場合と同一のスケーリングを示し、t→n/Kの置き換えによって一致することを確認し、時間離散化の整合性を裏付ける。