[論文レビュー] Scattering by curvatures, radiationless sources, transmission eigenfunctions and inverse scattering problems

Emilia Blåsten, Hongyu Liu|arXiv (Cornell University)|Aug 4, 2018

Numerical methods in inverse problems参考文献 68被引用数 15

ひとこと要約

本稿は、波動散乱における透明性と境界の曲率の幾何的原理を確立する。放射しない源や非放射波は、散乱体の境界における高曲率点に存在しえない。ただし、その強度が著しく小さい場合に限る。主な貢献は、非放射源が高曲率領域に近づくに従い急激に減衰することを示す定量的評価であり、これにより逆散乱問題における一意性結果や伝送固有関数の幾何的特徴づけが可能になる。

ABSTRACT

We consider several intriguingly connected topics in the theory of wave propagation: geometrical characterizations of radiationless sources, non-radiating incident waves, interior transmission eigenfunctions, and their applications to inverse scattering. Our major novel discovery is a localization and geometrization property. We first show that a scatterer, which might be an active source or an inhomogeneous index of refraction, cannot be completely invisible if its support is small compared to the wavelength and scattering intensity. Next, we localize and geometrize the "smallness" results to the case where there is a high-curvature point on the boundary of the scatterer's support. We derive explicit bounds between the intensity of an invisible scatterer and its diameter or its curvature at the aforementioned point. These results can be used to characterize radiationless sources or non-radiating waves near high-curvature points. As significant applications we derive new intrinsic geometric properties of interior transmission eigenfunctions near high-curvature points. This is of independent interest in spectral theory. We further establish unique determination results for the single-wave Schiffer's problem in certain scenarios of practical interest, such as collections of well-separated small scatterers. These are the first results for Schiffer's problem with generic smooth scatterers.

研究の動機と目的

• 波動散乱における非放射源および非放射入射波の幾何的制約を同定すること。
• 散乱体の支持境界における高曲率が、強度が極めて小さい場合を除き、透明性を不可能にする理由を確立すること。
• 高曲率点近傍における内部伝送固有関数の新しい内在的幾何的性質を導出すること。
• 単一の遠方場パターンデータを用いた逆形状問題における一意的同定結果を証明すること。
• 逆媒質散乱問題を、逆源問題の枠組みに還元することで、これに同様の結果を拡張すること。

提案手法

• グローバルなサイズではなく、高曲率境界点に焦点を当てた、小刻みの不透明性定理の局所化および幾何化されたバージョンを構築する。
• パラメータ (L, M, μ, K) を用いて曲率と境界の正則性を定量化する「許容可能な K-曲率点」の概念を導入する。
• 高曲率点の近傍にある局所領域 Ωb,h において、Rellich の補題とエネルギー推定を適用し、波場の振る舞いを制御する。
• 重み付き Carleman 評価と Hölder 範囲に関する事前評価を用いて、高曲率点における源強度の定量的減衰評価を導出する。
• 源項 φ = −k²Vu を用いて、逆媒質散乱問題を逆源問題に還元する。
• 遠方場パターンの等式に基づく背理法を用い、特定の条件下で二つの散乱体の差が許容可能な K-曲率点を含んではならないことを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 源の支持境界の曲率によって、その透明性を特徴づけられるか？
• RQ2 非放射源の強度とその境界における曲率との間の定量的関係は何か？
• RQ3 高曲率点は内部伝送固有関数の振る舞いにどのように制約を加えるか？
• RQ4 どのような条件下で、単一の遠方場パターンが散乱体の形状を一意に特定できるか？
• RQ5 屈折率に依存しない単一の遠方場データのみを用いて、逆媒質散乱問題を一意に解けるか？

主な発見

• 非放射源は、高曲率境界点に存在しえない。ただし、その強度が K⁻min(α,μ)/2 (ln K)^(n+3)/2 以上に速やかに減衰する場合に限る。ここで K は曲率を表す。
• 境界点における曲率が十分に高い場合、源の強度が非ゼロであっても、源の他の部分に関係なく、放射が生じる。
• 内部伝送固有関数は、高曲率境界点近傍で急速に消える必要があり、その減衰率は曲率および正則性パラメータに依存する。
• K が大きく、かつ他方の散乱体からの距離が有界である場合、同じ遠方場パターンを生成する二つの散乱体は、許容可能な K-曲率点を含む領域では異なることはできない。
• 十分に離間した小さな散乱体に対しては、単一の遠方場パターンにより、高曲率特徴の位置が O(K⁻¹) の精度で一意に特定可能である。
• 逆源問題が一意に解ける場合、源項 φ = −k²Vu を用いた還元により、逆媒質散乱問題も単一の遠方場パターンを用いて一意に解ける。