[論文レビュー] Schützenberger's factorization on the (completed) Hopf algebra of $q-$stuffle product

Chen Bui, Gérard Duchamp+1 more|arXiv (Cornell University)|May 20, 2013

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ひとこと要約

本稿は、シャツェンベルクァーの因子分解を、シャッフル（$q=0$）とスツルフィー（$q=1$）の間を滑らかに補間する $q$-スツルフィー積の完成化されたホップ代数へと拡張する。オイラー型射影子とその随伴を適応することで、対角的系列の対数を用いて、リー元の明示的双対基底を構成し、ルーテナウアーの枠組みを一般化し、可換的 $q$-変形ホップ代数における双対基底の非可逆的で効果的なアルゴリズムを提供する。

ABSTRACT

In order to extend the Schützenberger's factorization, the combinatorial Hopf algebra of the $q$-stuffles product is developed systematically in a parallel way with that of the shuffle product and and in emphasizing the Lie elements as studied by Ree. In particular, we will give here an effective construction of pair of bases in duality.

研究の動機と目的

• シャッフル積から $q$-スツルフィー積へのシューツェンベルクァーの因子分解の一般化。$q$-スツルフィー積は、$q=0$ でシャッフル積、$q=1$ でスツルフィー積に補間する。
• シャッフルの場合と並行して、$q$-スツルフィー積の体系的な組合せ的ホップ代数の枠組みの構築。
• リー元とオイラー型射影子を用いて、グラム行列の逆行列を回避する、$q$-スツルフィーのホップ代数における明示的かつ効果的な双対基底の構成。
• ルーテナウアーのリー元とリンデン語の理論を $q$-変形の設定へと拡張し、双対性と超越基底構造を保つ。

提案手法

• 再帰的公式とその双対コプロダクト $\Delta_{\square_q}$ を用いて $q$-スツルフィー積を定義し、シャッフルとスツルフィー代数を一般化する。
• $q$-スツルフィーのホップ代数における原始的要素を、対角的系列 $\log_*(I)$ の対数を用いて計算する。
• オイラー型射影子とその随伴の適応版を用いて、リー元へ射影し、双対基底を構成する。
• リンデン語の標準的系列と再帰的導出木を用いて、双対基底 $\{\Sigma_w\}$ と $\{\Pi_w\}$ を構成する。
• Maple を用いて実装し、$\Pi_{y_2}, \Pi_{y_2y_1}, \Sigma_{y_3y_1y_2}$ のような低次数の語について結果を検証する。
• 双対性 $\langle \Sigma_w | \Pi_{w'} \rangle = \delta_{w,w'}$ を活用し、$q$-累乗を含む明示的係数を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 シューツェンベルクァーの因子分解は、シャッフル積の変形である $q$-スツルフィー積へどのように拡張可能か？
• RQ2 $q$-スツルフィーのホップ代数におけるリー元の構造は何か？また、リンデン語とはどのように関係するか？
• RQ3 ルーテナウアーのシャッフル代数の方法に類似した、非可逆的で効果的なアルゴリズムを用いて、$q$-スツルフィーのホップ代数における双対基底を生成できるか？
• RQ4 $q$-変形は、$\Sigma_w$ と $\Pi_w$ の基底間の双対性にどのように影響するか？また、$q$-累乗は係数においてどのような役割を果たすか？
• RQ5 $q=0$ と $q=1$ の極限において、$q$-スツルフィー代数はシャッフル代数とスツルフィー代数の性質をどの程度保っているか？

主な発見

• $q$-スツルフィーのホップ代数における双対基底 $\{\Sigma_w\}$ と $\{\Pi_w\}$ の構成は、非可逆的で効果的であり、ルーテナウアーの方法を一般化する。
• $q=0$ の場合、この方法はシャッフル代数における古典的シューツェンベルクァー因子分解に還元され、既知の結果を回復する。
• ペアリング $\langle \Sigma_{y_{s_1}\ldots y_{s_k}} | \Pi_{y_{s'_1}\ldots y_{s'_i} w} \rangle = \delta_{s_1+\cdots+s_i,s} \delta_{y_{s_{i+1}}\ldots y_{s_k}, w} \cdot \frac{q^{i-1}}{i!}$ は、双対性の明確な組合せ的ルールを提供する。
• $\Pi_w$ と $\Sigma_w$ の明示的公式が導出され、たとえば $\Pi_{y_2} = y_2 - \frac{q}{2}y_1^2$ および $\Sigma_{y_2y_1} = y_2y_1 + \frac{q}{2}y_3$ のように、係数に $q$-依存性が現れる。
• 導出木の構造により、各リンデン語 $w$ が木の唯一の葉に対応し、語の構造が一致する場合にのみ双対性ペアリングが非ゼロとなることが保証される。
• アルゴリズムは Maple で実装され、低次数の語について正しさが確認され、$q$-変形されたリー元のさらなる探索を可能にする。