[論文レビュー] Scheme for constructing graphs associated with stabilizer quantum codes

Carlo Cafaro, Damian Markham+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 10, 2014

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 44被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、符号語安定化（CWS）形式を活用して、二値安定化量子符号に関連するグラフを体系的に構築するスキームを提示する。まず、符号を標準形のCWS符号に再定式化する。次に、標準形を用いて局所クラッカー同値性を介してグラフ状態表現を導出する。最後に、入力頂点をグラフに追加する。主な貢献は、シュリンゲマンとヴェルナーが当初提唱したように、任意の二値安定化符号をグラフ的に表現する統一的でアルゴリズム的な手法を提供し、その誤り訂正能力をグラフ論的基準を用いて検証できることである。

ABSTRACT

We propose a systematic scheme for the construction of graphs associated with binary stabilizer codes. The scheme is characterized by three main steps: first, the stabilizer code is realized as a codeword-stabilized (CWS) quantum code; second, the canonical form of the CWS code is uncovered; third, the input vertices are attached to the graphs. To check the effectiveness of the scheme, we discuss several graphical constructions of various useful stabilizer codes characterized by single and multi-qubit encoding operators. In particular, the error-correcting capabilities of such quantum codes are verified in graph-theoretic terms as originally advocated by Schlingemann and Werner. Finally, possible generalizations of our scheme for the graphical construction of both (stabilizer and nonadditive) nonbinary and continuous-variable quantum codes are briefly addressed.

研究の動機と目的

• 任意の二値安定化符号を、量子誤り訂正のグラフィカルフレームワークに体系的に埋め込むという長年のギャップを解消すること。
• 既存の安定化符号のグラフ表現における一意でない性質および情報が乏しい性質に対処すること。
• 任意の二値安定化符号をグラフ状態表現に一貫してマッピングする統一的でアルゴリズム的な手順を提供すること。
• シュリンゲマンとヴェルナーが提唱したように、グラフ論的ツールを用いて誤り訂正能力を検証することを可能にすること。
• 非二進および連続変数量子符号への一般化の基盤を築くこと。

提案手法

• 方法は、二値安定化符号を符号語安定化（CWS）量子符号として表現することから始める。
• CWS符号を、安定化生成子と論理的演算子がすべてZおよびX演算子のみで表現される標準形に変換する。
• 標準CWS符号に対して局所クラッカー変換を適用し、安定化生成子がグラフ状態と整合する形に変形する。
• 安定化行列を用いて、公式 $\Gamma = Z^{\top} \cdot (X^{\top})^{-1}$ を用いてグラフの隣接行列を導出する（$\det X \neq 0$ を仮定）。
• 論理的キュービットを表すために、入力頂点をグラフに追加し、符号の完全なグラフィカル表現を構築する。
• シュリンゲマンとヴェルナーのグラフ論的基準と一致行列を用いて、誤り訂正能力を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の二値安定化符号を、CWS形式を用いてどのように体系的にグラフ状態表現にマッピングできるか。
• RQ2 局所クラッカー同値性が、安定化符号が明確な隣接行列を持つグラフ状態として表現可能であることを保証する役割を果たすのはどのようなものか。
• RQ3 一致行列の構造といったグラフ論的性質を用いて、安定化符号の誤り訂正能力を純粋にグラフ論的性質として検証できるか。
• RQ4 提案されたスキームが、従来の安定化符号のグラフ表現における一意でない性質と情報が乏しい性質をどのように解消するか。
• RQ5 このスキームを非二進および連続変数量子符号へ一般化するにはどのような点が考えられるか。

主な発見

• [[8,3,3]]-符号について、このスキームは、安定化行列から導かれる隣接行列を持つグラフ状態と局所クラッカー同値であることを体系的に構築した。
• 隣接行列 $\Gamma = Z^{\top} \cdot (X^{\top})^{-1}$ が計算され、立方体グラフに対応することが示され、符号の位相的構造が確認された。
• 頂点1における局所補完を施した後、グラフの隣接行列が変化し、結果として得られる行列 $\Gamma'$ の行列式がゼロになることから、グラフ同値類が変化したことが示された。
• 入力および出力頂点を含む11×11の一致行列 $\Xi_{[[8,3,3]]}$ が構築され、符号がすべての単一キュービット誤りを検出可能であることが確認された。
• シュリンゲマン＝ヴェルナー基準を用いて、すべての $\binom{8}{2}$ 個の二誤り状態が検出可能であることが検証され、符号が任意の単一キュービット誤りを訂正可能であることが証明された。