[論文レビュー] Schmidt balls around the identity

Lieven Clarisse|arXiv (Cornell University)|Dec 1, 2005

Quantum Information and Cryptography被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、純粋状態が単位演算子と混合されたときの量子もつれの保持度を定量化するための、シュミットロバストネスおよびランダムシュミットロバストネスを導入する。これらの測度に対してタイトな上界と下界を提示し、ランダムシュミット-2ロバストネスの上界を用いて簡単な精製可能性の基準を導出する。さらに、2つの予想を提示する：1つは、単位演算子を中心とするシュミット数$n$の球の最大半径に関するもので、もう1つは、数値的証拠と解析的導出に基づく純粋状態に対する最適シュミット見分け子に関するものである。

ABSTRACT

Robustness measures as introduced by Vidal and Tarrach [PRA, 59, 141-155] quantify the extent to which entangled states remain entangled under mixing. Analogously, we introduce here the Schmidt robustness and the random Schmidt robustness. The latter notion is closely related to the construction of Schmidt balls around the identity. We analyse the situation for pure states and provide non-trivial upper and lower bounds. Upper bounds to the random Schmidt-2 robustness allow us to construct a particularly simple distillability criterion. We present two conjectures, the first one is related to the radius of inner balls around the identity in the convex set of Schmidt number n-states. We also conjecture a class of optimal Schmidt witnesses for pure states.

研究の動機と目的

• シュミットロバストネスおよびランダムシュミットロバストネスを純粋状態のエンタングルメント測度として定義・分析すること。
• これらのロバストネス測度に対する非自明な上界および下界を確立すること。
• ランダムシュミット-2ロバストネスの上界に基づいた簡単な精製可能性基準を導出すること。
• 状態空間における単位演算子を中心とするシュミット数$n$状態の球の最大半径を予想すること。
• 数値的および解析的証拠に基づき、フィルタリング操作を用いた最適シュミット見分け子のクラスを純粋状態に対して提案すること。

提案手法

• 標準ロバストネスの一般化としてのシュミットロバストネスを導入し、状態を分離可能にするために必要なシュミット数$n$状態との最小混合度を測定する。
• ランダムシュミットロバストネスを定義し、状態のシュミット数を$n$に低下させるために必要な単位演算子との最小混合度を測定し、これにより単位演算子を中心とするシュミット球の構成と関連付ける。
• 純粋状態のシュミット分解を用いて、シュミット係数$a_i$を用いてロバストネスを表現し、標準的およびランダムロバストネスの正確な式を導出する。
• エンタングルメント見分け子理論を適用し、ロバストネスとトレース関数形の関係を確立する。フィルタリング操作と対角行列を用いて候補となる最適見分け子を構成する。
• 正規化されたシュミット数$n+1$見分け子を用いてランダムシュミットロバストネスの下界を導出し、正規化制約のもとでの係数$a_i$に関する最大化問題に帰着させる。
• 数値最適化を用いて下界式を評価し、小次元数における特定変換に対する不変性を確認することで、最適見分け子の予想を支持する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 純粋二粒子状態のランダムシュミットロバストネスのタイトな上界および下界は何か？
• RQ2 ランダムシュミット-2ロバストネスが、簡単で効果的な精製可能性基準を導くように上界で抑えられるか？
• RQ3 シュミット数$n$状態の球の最大半径は何か？ そして、これはもつれの構造とどのように関係するか？
• RQ4 純粋状態に対する普遍的な最適シュミット見分け子のクラスは存在するか？ また、基本見分け子に対するフィルタリング操作によってその構成が可能か？
• RQ5 ランダムシュミットロバストネスの下界式における最大化問題は、シュミット係数のみを用いて解析的に解けるか？

主な発見

• 純粋状態$|\psi\rangle = \sum_i a_i |ii\rangle$の標準的ロバストネス$R_s(\psi)$と一般化ロバストネス$R_g(\psi)$は等しく、$R_s(\psi) = (\sum_i a_i)^2 - 1$で与えられ、この境界を達成する明示的な分離可能状態$\rho_s$が存在する。
• 純粋状態のランダムロバストネス$R_r(\psi)$は、正確に2番目に大きなシュミット係数の積$a_1 a_2$に等しい。
• ランダムシュミット-2ロバストネスの上界は、簡単な精製可能性基準を導く：もし$\rho^{T_B}$が固有値$\lambda \leq -1/14$を持つならば、$\rho$は精製可能である。
• 本稿では、単位演算子を中心とするシュミット数$k+1$球の最大半径$\beta$が$\beta \leq 2(2k^2 - 1)$を満たすと予想する。この等号は、$2k \otimes 2k$次元における最大もつれ状態と混合することで達成可能である。
• フィルタリングおよび対角操作を用いて導出された見分け子のクラスは、ランダムシュミットロバストネスの既知で最もタイトな下界を与える。著者らは、$\sum a_i^2 = 1$の制約のもとでの係数$a_i$に関する最大化により、このクラスが$R_{rn}(\psi)$の正確な値を与えると予想する。
• $d=3,4$および$n=2,3$における数値結果は、対角行列$A$を用いた見分け子のクラス$(A\otimes A)W_{n+1}(A\otimes A)^\dagger$が十分であることを支持しており、より一般の$A,B$は見分け子性能を向上させないことを示唆している。