[論文レビュー] Schmidt Games and Conditions on Resonant Sets

Steffen Weil|arXiv (Cornell University)|Oct 3, 2012

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 34被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、先行研究の変種を統合・拡張する一般化されたシュナイダー・ゲームを導入し、共振集合に関して悪く近似可能な点の集合が勝利集合であるための十分な公理的条件を確立する。主な貢献は、証明を単純化し、さまざまな設定（CAT(-1)空間内の測地線、R^n、C^2、Z_p^2における悪く近似可能なベクトル、重み付きのフラクタル部分集合を含む）で新たな結果を導くフレームワークの構築である。

ABSTRACT

Winning sets of Schmidt's game enjoy a remarkable rigidity. Therefore, this game (and modifications of it) have been applied to many examples of complete metric spaces (X, d) to show that the set of "badly approximable points", with respect to a given collection of resonant sets in X, is a winning set. For these examples, strategies were deduced that are, in most cases, strongly adapted to the specific dynamics and properties of the underlying setting. We introduce a new modification of Schmidt's game which is a combination and generalization of the ones of [18] and [20]. This modification allows us to axiomatize conditions on the collection of resonant sets under which there always exists a winning strategy. Moreover, we discuss properties of winning sets of this modification and verify our conditions for several examples - among them, the set of badly approximable vectors in the Euclidian space and the p-adic integers with weights and, as a main example, the set of geodesic rays in proper geodesic CAT(-1) spaces which avoid a suitable collection of convex subsets.

研究の動機と目的

• シュナイダーのゲームの統一的修正を構築し、Kleinbock-WeissおよびMcMullenのバージョンを一般化すること。
• 悪く近似可能な点の集合が勝利集合であるための、共振集合および距離空間に関する公理的条件を同定すること。
• 個別の戦略に依存するのではなく構造的条件に焦点を当てることで、ディオファントス近似および力学系における既存の証明を単純化・統一すること。
• 主な例（CAT(-1)空間内の測地線、さまざまな空間における重み付き悪く近似可能なベクトル）において条件を検証すること。
• 提案された公理的枠組みの下で、フル・ハウスドルフ次元および勝利性が導かれるという事実を示すこと。

提案手法

• Kleinbock-WeissおよびMcMullenのゲームの特徴を統合した新しいシュナイダー・ゲームの修正を導入し、共振集合の近傍に対する柔軟な制御を可能にする。
• 共振集合および周囲空間に関する幾何学的・力学的条件を公理化し、局所的分布、凸性、収縮性を含む。
• グロモフ双曲幾何とホロボールの影を用いて、測地線の進入・退出時刻と縮小パラメータを関連付ける。
• CAT(-1)空間へのゲームの適用において、ホロボールの影を分析し、視界距離を用いて近似定数を制御する。
• 勝利集合の剛性を活用し、明示的な戦略の構築なしにフル・ハウスドルフ次元および他の測度論的性質を導出する。
• R^n、C^2、Z_p^2、重み付きフラクタル部分集合など、複数の設定で公理を検証する。メトリックおよび幾何的推定を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 共振集合に関する幾何学的および力学的条件下で、本稿で提示されたシュナイダー・ゲーム修正において、悪く近似可能な点の集合が勝利集合である条件は何か？
• RQ2 個別の状況に依存する戦略ではなく、統一的な公理的枠組みによって、Bad(X, F) の勝利性を確立できるか？
• RQ3 CAT(-1)空間におけるホロボールの影と縮小パラメータは、ゲーム内の近似定数とどのように関係するか？
• RQ4 本フレームワークは、R^n、C^2、Z_p^2における重み付き悪く近似可能な集合へどの程度適用可能か？
• RQ5 測地線がホロボール C に滞在する時間と、その無限遠点におけるエンドポイントの縮小パラメータの関係は何か？

主な発見

• R^n、C^2、Z_p^2における悪く近似可能なベクトルの集合と「良い」フラクタル集合の交わりは、提案されたゲーム修正のもとで勝利集合である。
• 固有の測地線を持つCAT(-1)空間において、適切な凸集合の集合を避ける測地線の射線の集合は勝利集合である。
• 測地線がホロボール C に進入・退出する場合、C に滞在する時間は 2s + 2c₀ で有界であり、ここで s は縮小パラメータ、c₀ は一様定数である。
• 無限遠における視界距離は、d_o(ξ, η) ≤ c e^{-d(o,C)} e^{-l/2} を満たす。ここで l は C に滞在する時間であり、c は幾何構造に依存する。
• 公理的条件を用いることで、個別の戦略に依存しない証明の単純化が可能となり、複数の設定における勝利性の証明が容易になる。
• 非アーチメデス的および複素空間における重み付き悪く近似可能な集合を含む、主なすべての例で公理が検証された。