[論文レビュー] Schröder Paths and Pattern Avoiding Partitions

Sherry H.F. Yan|ArXiv.org|May 16, 2008

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 15被引用数 9

ひとこと要約

この論文は、[n+1] の 12312 を避ける分割と 12321 を避ける分割の間の全単射を、偶数レベルにピークがない半長 n のシュレーダー経路を中間構造として用いることで確立する。このような分割のブロック数による refined な列挙は、これらの経路におけるピーク数の数え上げに帰着され、非可約分割は母関数を介してスケーブ・ダック・パスと関連づけられる。

ABSTRACT

In this paper, we show that both 12312-avoiding partitions and 12321-avoiding partitions of the set $[n+1]$ are in one-to-one correspondence with Schröder paths of semilength $n$ without peaks at even level. As a consequence, the refined enumeration of 12312-avoiding (resp. 12321-avoiding) partitions according to the number of blocks can be reduced to the enumeration of certain Schröder paths according to the number of peaks. Furthermore, we get the enumeration of irreducible 12312-avoiding (resp. 12321-avoiding) partitions, which are closely related to skew Dyck paths.

研究の動機と目的

• 12312 を避ける [n+1] の分割と 12321 を避ける分割を、偶数レベルにピークがない半長 n のシュレーダー経路と一対一に対応付けること。
• ブロック数によるこれらのパターンを避ける分割の列挙を、シュレーダー経路におけるピーク数に結びつけることで refined な列挙を行うこと。
• 非可約 12312 および 12321 を避ける分割を特徴づけ、母関数を用いてスケーブ・ダック・パスと関連づけること。
• 中間の組合せ的構造として UH-free シュレーダー経路を用いた構成的全単射を提供すること。
• 格子経路理論と母関数の恒等式を用いて、2 つの異なる分割パターンの列挙を統一すること。

提案手法

• 分割の標準的逐次形を定義し、左から最大値を用いて、内部語を持つブロックに分割する。
• 各左から最大値の後続要素数を追跡することで、12312 を避ける分割から UH-free シュレーダー経路への写像 σ を構成する。
• 内部語が増加する構造的分解を用いて、12321 を避ける分割に対する写像 φ を定義する。
• ステップの再順序化により、UH-free シュレーダー経路から偶数レベルにピークがないシュレーダー経路への変換 ψ を導入する。
• UH-free 経路と非可約経路の母関数として f(x) と f′(x) を定義し、それぞれの生成関数系列をモデル化する。
• 閉形式の母関数を導出：f(x) = (1−x−√(1−6x+5x²))/(2(x−x²)) および f′(x) = 2/(1+x+√(1−6x+5x²)) であり、スケーブ・ダック・パスと関連づけられる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 12312 を避ける（または 12321 を避ける）[n+1] の分割と、偶数レベルにピークがないシュレーダー経路との間には、組合せ的全単射が存在するか？
• RQ2 ブロック数によるこれらの分割の refined な列挙は、シュレーダー経路におけるピーク数の数え上げに帰着可能か？
• RQ3 非可約 12312 および 12321 を避ける分割とスケーブ・ダック・パスとの間の関係は何か？
• RQ4 UH-free シュレーダー経路および非可約経路の母関数は、既知の組合せ的数列とどのように関連しているか？
• RQ5 この文脈において、分割のブロック内の内部語の構造的性質は、パターン回避をどのように決定づけるか？

主な発見

• 12312 を避ける（それぞれ 12321 を避ける）[n+1] の分割で k+1 個のブロックを持つものの個数は、半長 n の UH-free シュレーダー経路で k 個のピークを持つものの個数に等しく、∑_{j=k}^{n} (1/j) * (j choose k) * (j choose k−1) * (n choose j) で与えられる。
• 12312 を避ける（それぞれ 12321 を避ける）[n+1] の分割と、半長 n の偶数レベルにピークがないシュレーダー経路との間には全単射が存在する。
• 半長 n の UH-free シュレーダー経路の母関数は f(x) = (1−x−√(1−6x+5x²))/(2(x−x²)) であり、これは数列 A006318 に一致する。
• 12312 を避ける（それぞれ 12321 を避ける）[n+1] の非可約分割の母関数は f′(x) = 2/(1+x+√(1−6x+5x²)) であり、これは半長 n のスケーブ・ダック・パスで下向きステップで終わるものの個数（A033321）に一致する。
• 非可約 12312 および 12321 を避ける分割は、レベル 1 にピークがない UH-free シュレーダー経路と双対的に対応する。
• 12312 および 12321 を避ける分割のブロック数による refined な列挙は、構築された全単射を介して、シュレーダー経路におけるピーク数の数え上げに完全に帰着可能である。