[論文レビュー] Schur-Weyl duality for Deligne categories

Inna Entova-Aizenbud|arXiv (Cornell University)|Mar 21, 2014

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 9被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、Deligneの圏 $\underline{Rep}(S_t)$ において、シュール-ウェイル双対性の類似を確立する。それは、単位的ベクトル空間 $(V, \mathbbm{1})$ の複素テンソル冪として、$\underline{Rep}(S_t)$ 内の $\mathrm{Ind}$-対象を構成し、それに $\mathfrak{gl}(V)$-作用を備える。また、アーベル包 $\underline{Rep}^{ab}(S_t)$ と、パラボリック族 $\mathcal{O}^\mathfrak{p}_V$ のセレ・商 $\widehat{\mathcal{O}}^{\mathfrak{p}}_{t,V}$ の間で反同値を示し、反変シュール-ウェイル関手 $\widehat{SW}_t$ を通じて実現する。これは古典的シュール-ウェイル双対性を複素次元へと拡張するものである。

ABSTRACT

This paper gives an analogue to the classical Schur-Weyl duality in the setting of Deligne categories. Given a finite-dimensional unital vector space V (i.e. a vector space V with a distinguished non-zero vector 1), we give a definition of a complex tensor power of V. This is an Ind-object of the Deligne category Rep(S_t), equipped with a natural action of gl(V). This construction allows us to describe a duality between the abelian envelope of the category Rep(S_t) and a localization of the parabolic category O for gl(V) associated with the pair (V, 1). In particular, we obtain an exact contravariant functor SW from the category Rep^{ab}(S_t) (the abelian envelope of the category Rep(S_t)) to a certain quotient \hat{O} of the parabolic category O. This quotient is obtained by taking the full subcategory consisting of modules of degree t, and localizing by the subcategory of finite dimensional modules. It turns out that the contravariant functor SW makes \hat{O} a Serre quotient of the category Rep^{ab}(S_t)^{op}, and the kernel of SW can be explicitly described.

研究の動機と目的

• 複素次元 $t \in \mathbb{C}$ のデリーニの圏において、古典的シュール-ウェイル双対性を一般化すること。ここで $t$ は正の整数であるとは限らない。
• 単位的ベクトル空間 $(V, \mathbbm{1})$ に対して、$\underline{Rep}(S_t)$ 内の $\mathrm{Ind}$-対象として複素テンソル冪を定義し、自然な $\mathfrak{gl}(V)$-作用を備えること。
• $\widehat{\mathcal{O}}^{\mathfrak{p}}_{t,V}$ をパラボリック族 $\mathcal{O}^\mathfrak{p}_V$ の商とみなすとき、$\widehat{SW}_t: \underline{Rep}^{ab}(S_t) \to \widehat{\mathcal{O}}^{\mathfrak{p}}_{t,V}$ として反変完全関手を構成すること。ここで $\widehat{\mathcal{O}}^{\mathfrak{p}}_{t,V}$ は $\mathcal{O}^\mathfrak{p}_V$ の有限次元モジュールのセレ部分カテゴリによる商である。
• $\widehat{SW}_t$ がアーベル圏の反同値を誘導することを示し、$\underline{Rep}^{ab}(S_t)$ と $\widehat{\mathcal{O}}^{\mathfrak{p}}_{t,V}$ の間で、$\widehat{SW}_t$ の核を明示的に記述すること。
• $\mathbb{C}^N$ における逆極限構成を用いて双対性を拡張し、$\widehat{\mathcal{O}}^{\mathfrak{p}_N}_{t,\mathbb{C}^N}$ のフィルター付き逆極限と反同値となること。

提案手法

• 単位的ベクトル空間 $(V, \mathbbm{1})$ の複素テンソル冪を、$V \cong \mathbb{C}\mathbbm{1} \oplus U$ の分割の選び方に依存しない $\mathrm{Ind}$-対象として $\underline{Rep}(S_t)$ 内に定義する。
• この $\mathrm{Ind}$-対象に、$t = n \in \mathbb{Z}_{>0}$ のとき $V^{\otimes n}$ に標準的に定義される作用を一般化した $\mathfrak{gl}(V)$-作用を備える。
• 反変完全関手としてのシュール-ウェイル関手 $\widehat{SW}_t: \underline{Rep}^{ab}(S_t) \to \mathcal{O}^\mathfrak{p}_V$ を構成する。
• モジュールの次数が $t$ であるものからなる $\widehat{\mathcal{O}}^{\mathfrak{p}}_{t,V}$ を、$\mathcal{O}^\mathfrak{p}_V$ の有限次元モジュールのセレ部分カテゴリによる全サブカテゴリとして定義する。
• 制限関手 $\widehat{Res}_{t,N}: \widehat{\mathcal{O}}^{\mathfrak{p}_N}_{t,\mathbb{C}^N} \to \widehat{\mathcal{O}}^{\mathfrak{p}_{N-1}}_{t,\mathbb{C}^{N-1}}$ を用いて逆系を構成し、$\widehat{\mathcal{O}}^{\mathfrak{p}_N}_{t,\mathbb{C}^N}$ のカテゴリのフィルター付き逆極限を定義する。
• シュール-ウェイル関手 $SW_{t,\mathbb{C}^N}$ が、$\underline{Rep}^{ab}(S_t)$ と $\widehat{\mathcal{O}}^{\mathfrak{p}_N}_{t,\mathbb{C}^N}$ のカテゴリのフィルター付き逆極限との間で反変反同値を誘導することを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 デリーニの圏を用いて、整数次元から複素次元へとシュール-ウェイル双対性を一般化する方法は何か？
• RQ2 複素次元 $t \in \mathbb{C}$ のとき、$\underline{Rep}(S_t)$ 内で $V^{\otimes n}$ の正しい類似は何か？ そして、その構成が $\mathfrak{gl}(V)$-作用をどのように持ち得るか？
• RQ3 アーベル包 $\underline{Rep}^{ab}(S_t)$ と $\mathfrak{gl}(V)$ のパラボリック族 $\mathcal{O}^\mathfrak{p}_V$ の間の正確な関係は何か？
• RQ4 シュール-ウェイル関手 $\widehat{SW}_t$ の核は、$\underline{Rep}^{ab}(S_t)$ の構造をどのように特徴づけるか？
• RQ5 制限関手を用いて双対性を無限次元極限へと拡張できるか？ そのとき得られるカテゴリは何か？

主な発見

• 単位的ベクトル空間 $(V, \mathbbm{1})$ の複素テンソル冪は、$\underline{Rep}(S_t)$ 内の $\mathrm{Ind}$-対象として定義され、自然な $\mathfrak{gl}(V)$-作用を備え、$t = n \in \mathbb{Z}_{>0}$ のときの標準的 $V^{\otimes n}$ を一般化する。
• シュール-ウェイル関手 $\widehat{SW}_t: \underline{Rep}^{ab}(S_t) \to \widehat{\mathcal{O}}^{\mathfrak{p}}_{t,V}$ は、反変完全関手であり、$\widehat{\mathcal{O}}^{\mathfrak{p}}_{t,V}$ は $\mathcal{O}^\mathfrak{p}_V$ の有限次元モジュールのセレ部分カテゴリによる商である。
• $\widehat{SW}_t$ はアーベル圏の反同値を誘導し、$\underline{Rep}^{ab}(S_t)$ と $\widehat{\mathcal{O}}^{\mathfrak{p}}_{t,V}$ の間で、$\widehat{SW}_t$ の核が有限次元モジュールへ写像する対象の全サブカテゴリとして明示的に記述される。
• 双対性は逆極限系へと拡張される：$\underline{Rep}^{ab}(S_t)$ は $\widehat{\mathcal{O}}^{\mathfrak{p}_N}_{t,\mathbb{C}^N}$ のカテゴリのフィルター付き逆極限と反同値である。フィルターは対象の長さの安定化によって定義される。
• シュール-ウェイル関手 $\widehat{SW}_t$ は双対性と整合性を持つ：両側の双対関手と整合する自然同型 $\widehat{SW}_\nu((\cdot)^*) \cong \hat{\pi}(SW_\nu(\cdot)^\vee)$ が存在する。