[論文レビュー] Schwarz lemma and Kobayashi metrics for holomorphic and pluriharmonic functions

Miodrag Mateljević|arXiv (Cornell University)|Apr 21, 2017

Holomorphic and Operator Theory参考文献 14被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、複素数の複数変数における正則関数および多調和関数に対して、Kobayashi 距離と双曲幾何学を用いて古典的 Schwarz の補題を一般化する。Kobayashi-Schwarz の補題の幾何学的形態を確立し、単位球、多変数円板、穿孔された円板、および帯状領域といった双曲的領域に関する最近の結果を統一的かつ拡張的に扱い、不変距離および不変ラプラシアンを用いて導関数の鋭い推定値を提供する。

ABSTRACT

The Schwarz lemma as one of the most influential results in complex analysis and it has a great impact to the development of several research fields, such as geometric function theory, hyperbolic geometry, complex dynamical systems, and theory of quasi-conformal mappings. In this note we mainly consider various version of Schwarz lemma and its relatives related to holomorphic functions including several variables.

研究の動機と目的

• Kobayashi 幾何学を用いて、古典的 Schwarz の補題の結果を複素数の複数変数へ拡張すること。
• Kalaj-Vuorinen、Chen、Dyakanov および他の研究者の最近の結果を、共通の枠組みで統一すること。
• 単位球、多変数円板、穿孔された円板、帯状領域などの領域に適用可能な、Kobayashi-Schwarz の補題の幾何学的形態を確立すること。
• 不変距離および不変ラプラシアンを用いて、正則関数および多調和関数の挙動を分析すること。
• 複素数領域における双曲的および擬双曲的距離を用いて、導関数の鋭い推定値を導出すること。

提案手法

• 正則写像の導関数の境界を導くための基礎的道具として、Ahlfors-Schwarz の補題を用いる。
• 複数変数への不等式の一般化を実現するため、Kobayashi-Schwarz の補題の幾何学的形態（定理 4）を導入する。
• 単位球上での $\mathcal{M}$-調和関数および多調和関数を研究するために、不変ラプラシアン作用素 $\tilde{\triangle}$ を適用する。
• 自己同型不変距離および双曲的密度 $\mathrm{Hyp}_G(z)$ を用いて、正則写像下での接ベクトルのノルムを比較する。
• 一般の場合を 0 での導関数問題に還元するために、変換 $F = \varphi_{w_1} \circ f \circ \varphi_{z_1}$ を導入する。
• 不変勾配 $\tilde{D}f(z)$ を用い、標準勾配 $Df(z)$ と因子 $s_z = \frac{1 - |z|^2}{2}$ を通じて関係付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 複素数 $\mathbb{C}^n$ 内の双曲的領域間の正則写像に対して、古典的 Schwarz の補題をどのように一般化できるか？
• RQ2 Kobayashi 距離が、正則関数および多調和関数の導関数の鋭い推定値を導く際に果たす役割は何か？
• RQ3 不変距離および不変ラプラシアン $\tilde{\triangle}$ は、穿孔された円板および帯状領域に関する最近の結果を統一するためにどのように役立つか？
• RQ4 曲率が定数でない領域への写像に対して、Ahlfors-Schwarz の補題を最適な境界を得るためにどのように適合させられるか？
• RQ5 不変勾配 $\tilde{D}f(z)$、標準勾配 $Df(z)$、および双曲的距離の間の正確な関係は何か？

主な発見

• Kobayashi-Schwarz の補題の幾何学的形態（定理 4）により、$f: \mathbb{B}_n \to G$ に対して $\mathrm{Hyp}_G(fz) \cdot |f'(z)| \leq \frac{1}{s_z^2}$ が成り立ち、ここで $s_z = \frac{1 - |z|^2}{2}$ である。
• 単位円板の穿孔領域 $\mathbb{U}^\prime$ への正則関数 $f \in \mathcal{O}(\mathbb{B}_n, \mathbb{U}^\prime)$ に対して、不等式 $ (1 - |a|^2) |f'(a)| \leq 2|b| \ln \frac{1}{|b|} $ が成り立ち、これは Dyakanov の結果を回復する。
• 不変勾配は $ s_z^2 |Df(z)| \leq |\tilde{D}f(z)| \leq s_z |Df(z)| $ を満たし、標準導関数と不変導関数を結びつける。
• 正則写像 $f: \mathbb{B}_n \to G$ に対して、接ベクトル $u$ に対して不等式 $ \mathrm{Hyp}_G(fz) \cdot |u_*|_e \leq M_{\mathbb{B}_2}(a,u) \cdot |u|_e $ が成り立つ。これは点ごとの導関数の境界を一般化する。
• 多調和関数 $u: \mathbb{B}_n \to (a,b)^m$ に対しても、不変ラプラシアンおよび双曲幾何学を用いて結果が拡張可能である。
• 本フレームワークにより、Kalaj-Vuorinen、Chen、Dyakanov、Melentijević の結果が、一様な不変距離のアプローチに統合された。