[論文レビュー] Schwarzian derivative related to modules of differential operators on a locally projective manifold

Sofiane Bouarroudj, Valentin Ovsienko|ArXiv.org|Aug 3, 1998

Advanced Topics in Algebra参考文献 13被引用数 12

ひとこと要約

本稿は、滑らかな多様体に射影接続が備わっている場合の微分同相群に作用する1-コサイクルを導入し、1次元の古典的シュワルツィアン導関数を高次元に一般化する。このコサイクルは2階線形微分作用素の加群の構造を捉えており、非自明なコホモロジー類を表しており、1次元の結果を局所的に射影的構造を持つ多様体に拡張し、シュワルツィアン導関数の自然な幾何的一般化を提供する。

ABSTRACT

We introduce a 1-cocycle on the group of diffeomorphisms Diff$(M)$ of a smooth manifold $M$ endowed with a projective connection. This cocycle represents a nontrivial cohomology class of $\Diff(M)$ related to the Diff$(M)$-modules of second order linear differential operators on $M$. In the one-dimensional case, this cocycle coincides with the Schwarzian derivative, while, in the multi-dimensional case, it represents its natural and new generalization. This work is a continuation of \cite{bo} where the same problems have been treated in one-dimensional case.

研究の動機と目的

• 1次元多様体からの古典的シュワルツィアン導関数を、射影的構造を持つ高次元多様体へと拡張すること。
• 微分同相群 Diff(M) に作用する1-コサイクルを定義し、2階微分作用素の変換性を捉えること。
• 微分作用素の加群に関する Diff(M)-加群の文脈におけるこのコサイクルのコホモロジー的意義を確立すること。
• ボアルルージュとオブシエンコ（1997年）の1次元の場合の結果を、多変数設定に一般化すること。
• 微分作用素の微分同相変換におけるモジュラー性を理解するための幾何的かつ代数的枠組みを提供すること。

提案手法

• 滑らかな多様体 M に射影接続が備わっている場合の微分同相群 Diff(M) に作用する1-コサイクルを構成する。
• 射影的構造を用いて2階微分作用素への標準的作用を定義する。
• 微分同相変換における作用素の変換法則からコサイクル条件を導出する。
• 1次元の場合に、このコサイクルが古典的シュワルツィアン導関数に一致することを示す。
• コサイクルが、V を2階作用素の加群とするとき、第1コホモロジー群 H¹(Diff(M), V) 内で非自明な類を表していることを示す。
• 微分幾何学およびリー代数コホモロジーの技法を用いて加群構造を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 射影的構造を持つ高次元多様体に対して、シュワルツィアン導関数はどのように一般化できるか？
• RQ2 微分同相群は、2階微分作用素の加群分類において果たす役割は何か？
• RQ3 Diff(M) 上に構成された1-コサイクルは、微分作用素加群の文脈において非自明なコホモロジー類を表すか？
• RQ4 多様体 M に備わる射影接続は、微分作用素の変換性にどのように影響を与えるか？
• RQ5 1次元の場合に制限したときの1-コサイクルの幾何的意味は何か？そして古典的シュワルツィアン導関数とどのように関係するか？

主な発見

• Diff(M) 上に定義された1-コサイクルは、1次元より大きな次元の多様体に対し、古典的シュワルツィアン導関数を一般化する。
• 1次元の場合、このコサイクルは標準的シュワルツィアン導関数と完全に一致する。
• コホモロジー的文脈において、このコサイクルは非自明であり、V を2階作用素の加群とするとき、H¹(Diff(M), V) 内の非自明な類を表している。
• この構成は多様体上の射影的構造に本質的に結びついており、自然で幾何的に意味のあるものである。
• 以前の1次元加群に関する研究を拡張し、シュワルツィアンコサイクルの高次元版を提供する。
• この手法により、射影幾何学、微分作用素、リー群コホモロジーの間に深い関係が確立される。