[論文レビュー] Scrambling speed of random quantum circuits

Winton Brown, Omar Fawzi|arXiv (Cornell University)|Oct 24, 2012

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 30被引用数 53

ひとこと要約

この論文は、深さ $O(\log^3 n)$ のランダムな量子回路が強いスクラッチングを達成することを確立しており、これは大部分の部分系が最大混合状態に近くなることを意味し、定数レートと線形距離を有する量子エラー訂正符号を構築するために利用可能である。本研究は、ブラックホール物理学における高速スクラッチングの予想を解決し、そのスクラッチングが対数的深さで発生することを示した。これは、従来の境界よりも著しく速い。

ABSTRACT

Random transformations are typically good at "scrambling" information. Specifically, in the quantum setting, scrambling usually refers to the process of mapping most initial pure product states under a unitary transformation to states which are macroscopically entangled, in the sense of being close to completely mixed on most subsystems containing a fraction fn of all n particles for some constant f. While the term scrambling is used in the context of the black hole information paradox, scrambling is related to problems involving decoupling in general, and to the question of how large isolated many-body systems reach local thermal equilibrium under their own unitary dynamics. Here, we study the speed at which various notions of scrambling/decoupling occur in a simplified but natural model of random two-particle interactions: random quantum circuits. For a circuit representing the dynamics generated by a local Hamiltonian, the depth of the circuit corresponds to time. Thus, we consider the depth of these circuits and we are typically interested in what can be done in a depth that is sublinear or even logarithmic in the size of the system. We resolve an outstanding conjecture raised in the context of the black hole information paradox with respect to the depth at which a typical quantum circuit generates an entanglement assisted encoding against the erasure channel. In addition, we prove that typical quantum circuits of poly(log n) depth satisfy a stronger notion of scrambling and can be used to encode alpha n qubits into n qubits so that up to beta n errors can be corrected, for some constants alpha, beta > 0.

研究の動機と目的

• ランダムな量子回路がどの最小深さで情報スクラッチングを達成できるかを特定することで、量子重力における高速スクラッチング予想を解決すること。
• 深さ $O(\log^3 n)$ のランダムな量子回路が、強いスクラッチングの概念を満たし、部分系を最大混合状態に近づけることを確立すること。
• このような回路が、定数符号化レートと線形最小距離を有する安定化子符号を構築するために利用可能であることを示すこと。
• 従来の近似的な2-デザインよりも速い、デカップリングへの収束を示すことで、以前のデカップリング結果を改善すること。
• 局所的量子ダイナミクスの自然なモデルにおけるデカップリングおよびスクラッチングの速度を分析し、熱平衡化およびブラックホール物理学に関連するものとする。

提案手法

• 2次元格子上に局所的な2キュービットゲートを用いたランダムな量子回路モデルを構築し、深さをダイナミカルな進化における時間に対応させる。
• ランダムウォークの確率的解析と集中不等式を用いて、回路の進化後に低重みパウリ演算子が依然として顕著である確率を評価する。
• 近似的ユニタリ設計およびデカップリング理論の結果を適用し、深さ $O(\log^3 n)$ の回路が強いデカップリングを達成することを示す。
• カップリング論法とインジケータ変数の和の尾部確率を用いて、プロセスがしきい値以下に保たれる回数を制御し、迅速な混合を保証する。
• 偏りのあるランダムウォークに関する補題を活用し、境界に到達する確率を評価し、部分系における情報の減衰をモデル化する。
• これらのツールを組み合わせて、深さ $O(\log^3 n)$ の典型的な回路が、任意の定数 $f$ に対してサイズ $fn$ のすべての部分系をスクラッチングすることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 サブリニア深さのランダムな量子回路は、サイズ $fn$ のすべての部分系が最大混合状態に近づくような強いスクラッチングを達成できるか？
• RQ2 ランダムな量子回路が量子通信およびエラー訂正に適したデカップリングを実現する最小深さは何か？
• RQ3 自然な局所的量子回路において、$O(\log n)$ 深さでスクラッチングが達成できるという高速スクラッチング予想は正しいか？
• RQ4 このような回路を用いて、定数レートと線形距離を有する量子エラー訂正符号を構築できるか？
• RQ5 標準的な近似的2-デザインと比較して、スクラッチングの速度はどの程度速いか？

主な発見

• 深さ $O(\log^3 n)$ のランダムな量子回路は、任意の定数 $f$ に対して、サイズが $fn$ 以下のすべての部分系を最大混合状態に近づける強いスクラッチングを達成する。
• 同じ回路は、標準的な近似的2-デザインが $O(n^2)$ のサイズを要するのに対し、はるかに速いデカップリングユニタリを提供する。
• このような回路を用いることで、定数符号化レート $\alpha > 0$ および最小距離 $\beta n$（$\beta > 0$）を有する安定化子符号を構築可能であり、符号化回路の深さは $O\left(\log^3 n\right)$ で十分である。
• 本論文では、$O(\log n)$ 深さの回路が、ブラックホール情報パラドックスに関連する弱いスクラッチングの概念を達成することを証明した。
• 自然な局所的回路モデル下で、情報が $O(\log n)$ 深さでスクラッチング可能であることを示したことで、ブラックホール物理学からの予想を解決した。
• 解析により、回路進化下での低重みパウリ演算子の減衰が指数的に速いことが確立され、情報の効果的な拡散が確認された。