[論文レビュー] The decoupling approach to quantum information theory

Frédéric Dupuis|arXiv (Cornell University)|Apr 9, 2010

Quantum Information and Cryptography参考文献 65被引用数 90

ひとこと要約

本学位論文は、量子情報理論における一様な枠組みとしてのデカップリングアプローチを導入し、1つのノイジーな量子チャネルを用いて部分的に既知の量子データをワンショットで伝送可能であることを示す中心定理を証明する。主な貢献は、トレース距離に基づく成功基準を用いた、従来の研究よりも強く、操作的に意味のある量子ロックイングの新規情報ロックインプロトコルである。

ABSTRACT

Quantum information theory studies the fundamental limits that physical laws impose on information processing tasks such as data compression and data transmission on noisy channels. This thesis presents general techniques that allow one to solve many fundamental problems of quantum information theory in a unified framework. The central theorem of this thesis proves the existence of a protocol that transmits quantum data that is partially known to the receiver through a single use of an arbitrary noisy quantum channel. In addition to the intrinsic interest of this problem, this theorem has as immediate corollaries several central theorems of quantum information theory. The following chapters use this theorem to prove the existence of new protocols for two other types of quantum channels, namely quantum broadcast channels and quantum channels with side information at the transmitter. These protocols also involve sending quantum information partially known by the receiver with a single use of the channel, and have as corollaries entanglement-assisted and unassisted asymptotic coding theorems. The entanglement-assisted asymptotic versions can, in both cases, be considered as quantum versions of the best coding theorems known for the classical versions of these problems. The last chapter deals with a purely quantum phenomenon called locking. We demonstrate that it is possible to encode a classical message into a quantum state such that, by removing a subsystem of logarithmic size with respect to its total size, no measurement can have significant correlations with the message. The message is therefore "locked" by a logarithmic-size key. This thesis presents the first locking protocol for which the success criterion is that the trace distance between the joint distribution of the message and the measurement result and the product of their marginals be sufficiently small.

研究の動機と目的

• デカップリング原理を用いて、量子情報理論における基本的問題を解く一般枠組みを構築すること。
• 受信者がデータを部分的に既知としている状況下で、1回のノイジーな量子チャネルを用いて量子データを伝送するワンショットプロトコルの存在を証明すること。
• フレームワークを量子ブロードキャストチャネルおよび送信者にサイドインフォメーションを有するチャネルに拡張し、エンタングルメント支援あり・なしの両方の状況で漸近的符号化定理を導出すること。
• ジョイント分布と周辺分布の積との間のトレース距離を成功基準とする、量子ロックインの初のプロトコルを提示することにより、操作的意味を保証すること。
• 未解決問題の探求、特にランダムユニタリプロトコルの構成的実装および最小エントロピーの境界を用いたメモリチャネルへの一般化。

提案手法

• 中心的な道具として、デカップリング定理（定理3.7）を用い、ハア測度に従うランダムユニタリが、高確率で系と環境をデカップリングすることを示す。
• 完全に量子的な漸近的等確率性の性質（定理2.4）を活用し、i.i.d.状態に対してワンショット符号化定理を導出するデカップリング原理を適用する。
• 濃度の集中（定理3.9）を用いて、デカップリングが平均的ではなく、高確率で成立することを示し、これはロックインプロトコルにとって不可欠である。
• 古典的メッセージを量子状態に符号化し、対数的サイズの部分系を削除することで、任意の測定に対してメッセージがアクセス不能になるようにするロックインスキームを構築する。
• ジョイント分布（メッセージと測定結果）と周辺分布の積との間のトレース距離を用いて、ロックインの成功を定義し、ランダムネスと操作的同等性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 1回のノイジーな量子チャネルを用いて、受信者が事前に部分的に知っている量子データを伝送可能であり、その通信の根本的限界は何か？
• RQ2 デカップリングアプローチを量子ブロードキャストチャネルおよび送信者にサイドインフォメーションを有するチャネルにどのように拡張できるか？
• RQ3 量子系における情報ロックインの操作的意味は何か？ トレース距離を用いて形式化可能か、そのことで強靭性が保証されるか？
• RQ4 デカップリング定理で用いられるランダムユニタリ構成は、特にロックインプロトコルにおいて構成的に行えるか？
• RQ5 自由なエンタングルメントが利用可能な状況で、古典的情報理論の結果をどの程度量子情報理論に取り入れられるか？

主な発見

• 中心的なデカップリング定理は、受信者がデータの一部を事前に知っている状況で、ノイジーなチャネルを1回使用して量子通信を行うプロトコルの存在を証明する。
• このプロトコルは、エンタングルメント支援および非支援の漸近的符号化定理を含む、量子情報理論における数々の中心的定理の即時系として導かれる。
• 量子ブロードキャストチャネルおよび送信者にサイドインフォメーションを有するチャネルに対して、エンタングルメントが利用可能な場合、既存の古典的結果と一致する漸近的レートを達成する新しいプロトコルを生成する。
• 本プロトコルは、ジョイント分布と積分布との間のトレース距離を成功基準として用いる最初のロックインプロトコルであり、暗号文に対する測定のみでメッセージと相関が得られないことを保証する。
• このプロトコルは、古典的メッセージを対数的サイズの鍵を用いてロックできることを示しており、この鍵を削除することで、任意の測定に対してメッセージが実質的にランダムになる。
• 解析により、濃度の集中（定理3.9）がロックイン結果において不可欠であることが示され、これは平均的性能ではなく、高確率でのデカップリングを保証するためである。