[論文レビュー] Search by quantum walks on two-dimensional grid without amplitude amplification

Andris Ambainis, Artūrs Bačkurs+3 more|arXiv (Cornell University)|Dec 14, 2011

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 14被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、量子ウォーク探索が、振幅増幅を必要とせずに、$O(\sqrt{N\log N})$ ステップの後、$O(\sqrt[4]{N})$ の近傍内でマークされたノードを特定する確率が定数に保たれることを示している。高確率でマークされた位置の近くにいることを利用することで、振幅増幅の $O(\sqrt{\log N})$ のオーバーヘッドを回避し、従来の手法よりも $O\left(\sqrt{\log N}\right)$ の高速化を達成している。

ABSTRACT

We study search by quantum walk on a finite two dimensional grid. The algorithm of Ambainis, Kempe, Rivosh (quant-ph/0402107) takes O(\sqrt{N log N}) steps and finds a marked location with probability O(1/log N) for grid of size \sqrt{N} * \sqrt{N}. This probability is small, thus amplitude amplification is needed to achieve Θ(1) success probability. The amplitude amplification adds an additional O(\sqrt{log N}) factor to the number of steps, making it O(\sqrt{N} log N). In this paper, we show that despite a small probability to find a marked location, the probability to be within an O(\sqrt{N}) neighbourhood (at an O(\sqrt[4]{N}) distance) of the marked location is Θ(1). This allows to skip amplitude amplification step and leads to an O(\sqrt{log N}) speed-up. We describe the results of numerical experiments supporting this idea, and we prove this fact analytically.

研究の動機と目的

• 2次元グリッド上の量子ウォーク探索の状態分布が、$O(\sqrt{N\log N})$ ステップ後にどのように分布するかを分析すること。
• マークされたノードからの距離が $O(\sqrt[4]{N})$ 以内の領域にいる確率が、正確なマークされたノードを測定する確率が小さくても、依然として定数のまま保たれるかどうかを特定すること。
• 出力状態に対して古典的後処理を用いることで、振幅増幅を回避し、実行時間を短縮できることを示すこと。

提案手法

• 周期的境界条件を伴う $\sqrt{N} \times \sqrt{N}$ グリッド上の量子ウォークを分析し、4次元のコインレジスタを用いたコイン付き量子ウォークモデルを用いる。
• 非マークノードではグローバーの拡散演算子 $D$ を適用し、マークノードでは $-I$ を適用するが、シフト操作は変更しない。
• $O(\sqrt{N\log N})$ ステップ後の状態の進化に注目し、内積 $\langle \psi(t) | \psi(0) \rangle$ が小さくなることを示し、均一状態からの著しい逸脱を示している。
• 三角関数の和の評価と漸近的解析を用いて、解析的にマークされたノードからの $O(\sqrt[4]{N})$ 距離内にいる確率が $\Theta(1)$ であることを証明している。
• 形 $\sum_{k=1}^{n} \frac{\cos(2\pi n^{\epsilon-1}k)}{k}$ の和の境界を導出し、振幅の主な寄与がマークされたノードの近傍に集中していることを示している。
• 古典的後処理を用いてマークされたノードを高確率近傍から抽出することで、振幅増幅を回避し、$O(\sqrt{\log N})$ ステップの節約が可能になっている。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2次元グリッド上の量子ウォーク状態が、$O(\sqrt{N\log N})$ ステップ後にどのような確率分布を示すか、特にマークされたノードに近い位置の分布に関しては？
• RQ2 正確なマークされたノードを測定する確率が $O(1/\log N)$ である場合でも、マークされたノードからの距離が $O(\sqrt[4]{N})$ 以内にいる確率がゼロから離れて保たれるか？
• RQ3 出力状態に対する古典的後処理を用いることで、振幅増幅を一切使わずに定数の成功確率を達成できるか？
• RQ4 $n^{\epsilon-1}$ を含む三角関数の和の漸近的挙動が、量子ウォークの振幅分布にどのように影響するか？
• RQ5 振幅増幅を省略することで、量子ウォーク探索の全体的な実行時間計算量にどのような影響があるか？

主な発見

• 2次元グリッド上で $O(\sqrt{N\log N})$ ステップの後、マークされたノードからの $O(\sqrt[4]{N})$ 距離内にいる確率は $\Theta(1)$ であり、ゼロから離れて保たれている。
• 正確なマークされたノードを測定する確率が $O(1/\log N)$ であっても、その $O(\sqrt[4]{N})$ 近傍にいる確率は定数のまま保たれ、古典的後処理によりマークされたノードを特定可能である。
• 出力状態に対する古典的後処理を用いることで、振幅増幅の必要性を回避でき、それによって $O(\sqrt{\log N})$ ステップの追加コストを節約できる。
• 解析的証明は、形 $\sum_{k=1}^{n} \frac{\cos(2\pi n^{\epsilon-1}k)}{k}$ の和が $O(\ln n)$ であることを示し、対称性を用いて振動成分を相殺している。
• 従来の振幅増幅付き量子ウォーク探索（全体の実行時間 $O(\sqrt{N}\log N)$）に比べて、$O\left(\sqrt{\log N}\right)$ の高速化を達成している。
• 数値実験は解析的結果を支持しており、振幅がマークされたノードの定数確率近傍に集中していることを確認している。