[論文レビュー] Almost-Tight Distributed Minimum Cut Algorithms

Danupon Nanongkai, Hsin-Hao Su|arXiv (Cornell University)|Aug 4, 2014

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 5被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、CONGESTモデルにおける重み付きグラフの最小カットを正確に計算する最初の非線形時間決定的アルゴリズムを提示する。実行時間は $O((\sqrt{n}\log^{*}n + D)\lambda^4\log^2n)$ であり、ほぼ最適な $(1+\epsilon)$-近似アルゴリズムは $O((\sqrt{n}\log^{*}n + D)\epsilon^{-5}\log^3n)$ 時間で実行される。この手法は、Thorupの木パッケージングとKargerのサンプリング、および動的計画法を組み合わせ、最小カットを特定するためにスパニングツリーの性質を活用する。

ABSTRACT

We study the problem of computing the minimum cut in a weighted distributed message-passing networks (the CONGEST model). Let $λ$ be the minimum cut, $n$ be the number of nodes in the network, and $D$ be the network diameter. Our algorithm can compute $λ$ exactly in $O((\sqrt{n} \log^{*} n+D)λ^4 \log^2 n)$ time. To the best of our knowledge, this is the first paper that explicitly studies computing the exact minimum cut in the distributed setting. Previously, non-trivial sublinear time algorithms for this problem are known only for unweighted graphs when $λ\leq 3$ due to Pritchard and Thurimella's $O(D)$-time and $O(D+n^{1/2}\log^* n)$-time algorithms for computing $2$-edge-connected and $3$-edge-connected components. By using the edge sampling technique of Karger's, we can convert this algorithm into a $(1+ε)$-approximation $O((\sqrt{n}\log^{*} n+D)ε^{-5}\log^3 n)$-time algorithm for any $ε>0$. This improves over the previous $(2+ε)$-approximation $O((\sqrt{n}\log^{*} n+D)ε^{-5}\log^2 n\log\log n)$-time algorithm and $O(ε^{-1})$-approximation $O(D+n^{\frac{1}{2}+ε} \mathrm{poly}\log n)$-time algorithm of Ghaffari and Kuhn. Due to the lower bound of $Ω(D+n^{1/2}/\log n)$ by Das Sarma et al. which holds for any approximation algorithm, this running time is tight up to a $ \mathrm{poly}\log n$ factor. To get the stated running time, we developed an approximation algorithm which combines the ideas of Thorup's algorithm and Matula's contraction algorithm. It saves an $ε^{-9}\log^{7} n$ factor as compared to applying Thorup's tree packing theorem directly. Then, we combine Kutten and Peleg's tree partitioning algorithm and Karger's dynamic programming to achieve an efficient distributed algorithm that finds the minimum cut when we are given a spanning tree that crosses the minimum cut exactly once.

研究の動機と目的

• CONGESTモデルにおける一般の重み付きグラフに対して、非線形時間で正確な最小カットを計算するアルゴリズムを提供することで、分散最小カット計算のギャップを埋めること。
• 既知の下界が多対数的要因を除いて一致するまでに、$\epsilon$ の多対数的要因を除いて最適な $(1+\epsilon)$-近似アルゴリズムを開発すること。
• 従来の $\lambda \leq 3$ に限定された研究を拡張し、任意の $\lambda$ に対して正確な計算とより優れた近似比を可能にすること。
• 木パッケージング、サンプリング、および効率的な分散MST計算を組み合わせることで、タイトな実行時間境界を達成すること。

提案手法

• 高い確率で最小カットをちょうど1回貫通するスパニングツリーが存在することを保証するために、Thorupの木パッケージング定理を活用する。
• Kargerのエッジサンプリング技術を用いて、最小カット値を $(1+\epsilon)$ 要因内に保ちながらグラフのサイズを縮小する。
• Matulaの収縮アルゴリズムの変種を適用して、反復ごとにエッジ数を幾何級数的に減少させ、グラフを段階的に縮小する。
• KuttenとPelegのツリー分割アルゴリズムを用いて、$O(\sqrt{n}\log^{*}n + D)$ 時間で最小スパニングツリーを効率的に計算する。
• 最小カットをちょうど1回貫通するツリーのうち、動的計画法と負荷に基づくエッジ選択を組み合わせて、最小カットを同定する。
• GhaffariとKuhnの近似アルゴリズムを統合し、$\lambda$ の3近似を得て、再帰的改善を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般の重み付きグラフにおいて、CONGESTモデルで非線形時間で正確な最小カットを計算できるか？
• RQ2 非線形時間で達成可能な最良の近似比は何か？ 2+\epsilon よりも改善可能か？
• RQ3 分散最小カットアルゴリズムの実行時間を、既知の下界が多対数的要因を除いて一致するように最適化できるか？
• RQ4 分散環境において、木パッケージングとサンプリングをどのように組み合わせて最小カットを効率的に特定できるか？

主な発見

• 本稿は、CONGESTモデルにおける重み付きグラフの正確な最小カットを計算する最初の決定的非線形時間アルゴリズムを提示し、実行時間は $O((\sqrt{n}\log^{*}n + D)\lambda^4\log^2n)$ である。
• $(1+\epsilon)$-近似は $O((\sqrt{n}\log^{*}n + D)\epsilon^{-5}\log^3n)$ 時間で達成され、既知の $\Omega(D + n^{1/2}/\log n)$ の下界に多対数的要因を除いて一致するため、多対数的要因を除いて最適である。
• 従来の $(2+\epsilon)$-近似および $O(\epsilon^{-1})$-近似アルゴリズムに比べ、$\epsilon$ の指数を低減し、$\log\log n$ 要因を排除することで性能が向上している。
• Thorupの木パッケージングとKargerのサンプリング、および動的計画法を組み合わせることで、直接Thorupの定理を適用する場合に比べて $\epsilon^{-9}\log^7 n$ 要因の改善が達成される。
• 正確な最小カットは $O(\lambda^4\log^2n(D + \sqrt{n}\log^{*}n))$ ラウンドで計算可能であり、$\lambda$ は3近似ステップで推定される。
• $\lambda$ の $(1+\epsilon)$-近似は $O(\epsilon^{-5}\log^2n\log\log n(D + \sqrt{n}\log^{*}n))$ ラウンドで達成され、最良の既知の下界が多対数的要因を除いて一致する。