[論文レビュー] Search of clustered marked states with lackadaisical quantum walks

Amit Saha, Ritajit Majumdar+3 more|arXiv (Cornell University)|Apr 4, 2018

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 30被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、$\sqrt{N} \times \sqrt{N}$ グリッドにおけるクラスタ化されたマークド状態の探索に、最適化された自己ループ重み $\frac{4}{N(k + \lfloor\sqrt{k}/2\rfloor)}$ を持つ無頓足な量子ウォークを提案する。$k$ が奇数である。この手法は、標準的な量子ウォークと比較して成功確率を約 0.2 向上させるとともに、必要なステップ数を削減し、1 回の量子ウォーク実行後に古典的探索を用いることで、$\mathcal{O}(\sqrt{k})$ 時間で全クラスタを効率的に発見可能となる。

ABSTRACT

Nature of quantum walk in presence of multiple marked state has been studied by Nahimovs and Rivosh \cite{10.1007/978-3-662-49192-8_31}. They have shown that if the marked states are arranged in a $\sqrt{k} imes \sqrt{k}$ cluster in a $\sqrt{N} imes \sqrt{N}$ grid, then to find a single marked state among the multiple ones, quantum walk requires $Ω(\sqrt{N} - \sqrt{k})$ time. In this paper, we show that using lackadaisical quantum walk with the weight of the self-loop as $\frac{4}{N(k + \lfloor{\frac{\sqrt{k}}{2}} floor)}$, where $k$ is odd, the probability of finding a marked state increases by $\sim 0.2$. Furthermore, we show that instead of applying the quantum walk $\mathcal{O}(k)$ times to find all the marked states, classical search in the vicinity of the marked state found after the first implementation of the quantum walk can find all the marked states in $\mathcal{O}(\sqrt{k})$ time on average.

研究の動機と目的

• 複数のマークド状態が $\sqrt{k} \times \sqrt{k}$ ブロックにクラスタ化された 2D グリッドにおいて、量子ウォーク探索の成功確率を向上させること。
• 干渉や低検出確率のため性能が低下する標準的量子ウォークの非効率性を是正すること。
• クラスタ化されたマークド状態の局在化と検出確率を向上させるために、適応的に調整された自己ループ重みを持つ無頓足な量子ウォークを設計すること。
• 1 回の量子ウォーク実行と、検出された状態の周辺における古典的探索を組み合わせることで、全 $k$ 個のマークド状態を特定する総合的な時間計算量を低減すること。
• 検出されたマークド状態の局所的近傍で古典的探索を実行することで、全 $k$ 個の状態を $\mathcal{O}(\sqrt{k})$ 時間で特定できることを示すこと。これは、繰り返し量子ウォークを実行するのを上回る性能を発揮する。

提案手法

• 本研究では、$\sqrt{N} \times \sqrt{N}$ グリッド上で離散時間量子ウォークを用い、フラップ・フロップシフト演算子とグローバーの拡散コイン演算子を採用する。
• 無頓足な量子ウォークを導入し、各グリッドノードに調整可能な重みを持つ自己ループを追加することで、特定の位置に留まる確率を向上させる。
• 自己ループ重みは、奇数の $k$ に対して解析的に $\frac{4}{N(k + \lfloor\sqrt{k}/2\rfloor)}$ と導出され、クラスタ構成における検出確率を最適化する。
• 量子ウォークを、マークドクラスタに振幅が集中するまでステップ数を進める。その後、測定が実行される。
• 1 つのマークド状態が検出された後、その周辺の局所的近傍で古典的探索を実行し、全 $k$ 個のマークド状態を $\mathcal{O}(\sqrt{k})$ 時間で特定する。
• シミュレーションは、$\sqrt{N} = 8$ から $30$ までのさまざまなグリッドサイズと固定された $k=9$ を用い、自己ループ有無で成功確率とステップ数を比較した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 適応的に調整された自己ループ重みを有する無頓足な量子ウォークは、2D グリッド上でのクラスタ化された構成におけるマークド状態の検出成功確率を向上させることができるか？
• RQ2 最適化された自己ループ重み $\frac{4}{N(k + \lfloor\sqrt{k}/2\rfloor)}$ は、標準的量子ウォークと比較して、高確率での検出に必要なステップ数を削減するか？
• RQ3 1 つの検出済みマークド状態の周辺で実行する古典的探索は、平均的に全 $k$ 個のクラスタ化マークド状態を $\mathcal{O}(\sqrt{k})$ 時間で特定できるか？
• RQ4 1 回の量子ウォーク実行に続いて局所的古典的探索を実行する統合手法は、全マークド状態を特定するために $\mathcal{O}(k)$ 回の量子ウォーク実行を繰り返すのと比較して、より効率的か？
• RQ5 提案された自己ループ重みを用いることで、成功確率にどの程度の定量的向上が得られるか？また、この向上はさまざまなグリッドサイズにおいても成立するか？

主な発見

• 提案された自己ループ重み $\frac{4}{N(k + \lfloor\sqrt{k}/2\rfloor)}$ は、標準的量子ウォークと比較して、マークド状態の検出成功確率を約 0.2 向上させる。
• 自己ループ重みを最適化した無頓足ウォークを用いることで、特に $N$ が大きい場合に、高検出確率に到達するためのステップ数が削減される。
• 検出されたマークド状態の周辺で実行する古典的探索は、平均的に全 $k$ 個のマークド状態を $\mathcal{O}(\sqrt{k})$ 時間で特定でき、繰り返し量子ウォークを実行するのを著しく上回る。
• 1 回の量子ウォーク実行に続いて効率的な古典的後処理を実行することで、全 $k$ 個のマークド状態を発見可能となり、総合的な時間計算量は $\mathcal{O}(k)$ から $\mathcal{O}(\sqrt{k})$ に低減される。
• シミュレーションにより、$\sqrt{N} = 8$ から $30$ のすべてのテスト済みグリッドサイズで、最適化された自己ループ重みを用いることで成功確率がほぼ 1 に近づくことが確認された。
• 理論的利点が実証的に裏付けられ、$k=9$ を固定した状態でさまざまなグリッドサイズにおいて一貫した向上が得られている。