[論文レビュー] Second Order BSDEs with Jumps: Existence and probabilistic representation for fully-nonlinear PIDEs

M. Nabil Kazi-Tani, Dylan Possamaï+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 3, 2012

Stochastic processes and financial applications参考文献 33被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、ジャンプを伴う2次確率的後向き確率微分方程式（2BSDEJ）の存在および確率的表現を確立し、正規条件付き確率分布を用いた直接的手法により、完全な適切性理論を構築している。本稿は、2BSDEJの解が、モデル不確実性下での完全非線形放物型積分微分方程式（PIDE）の連続的解に対応することを証明し、ジャンプ拡散設定における非線形Feynman-Kac公式を拡張している。

ABSTRACT

In this paper, we pursue the study of second order BSDEs with jumps (2BSDEJs for short) started in our accompanying paper [15]. We prove existence of these equations by a direct method, thus providing complete wellposedness for 2BSDEJs. These equations are a natural candidate for the probabilistic interpretation of some fully non-linear partial integro-differential equations, which is the point of the second part of this work. We prove a non-linear Feynman-Kac formula and show that solutions to 2BSDEJs provide viscosity solutions of the associated PIDEs.

研究の動機と目的

• 直接的手法を用いて、2BSDEJの完全な適切性理論を確立する。特に、近似や双対性手法に依存せずに存在を証明することを目的とする。
• ジャンプ拡散設定に非線形Feynman-Kac公式を拡張し、2BSDEJと完全非線形放物型積分微分方程式（PIDE）を結びつけること。
• 特にジャンプが存在する状況下において、モデル不確実性下での完全非線形PIDEの連続的解に対する確率的解釈を提供すること。
• 2BSDEフレームワークを連続的拡散からジャンプ過程へ一般化し、ブラウン運動とポアソン確率測度の両方を組み込むこと。
• 非マルコフ的かつ非線形のPIDEにジャンプを含む文脈において、確率的制御、非線形PDE、およびファイナンス数学の間のギャップを、ジャンプ付きの非線形PIDEを統合的に扱う確率的アプローチによって埋めること。

提案手法

• 近似や双対性手法に依存せず、正規条件付き確率分布に基づく直接的証明を用いて2BSDEJの存在を示す。
• 2BSDEJをブラウン運動とポアソン確率測度によって生成されるフィルタード確率空間上で定義し、生成子 $ g $ が解およびその制御に依存することを明示する。
• 標準的BSDEJの比較定理を用いて、事前推定および安定性結果を導出する。
• 状態空間を可算個の球の被覆によって分割する技法を用い、近似確率測度を構築し、動的計画法の原則を検証する。
• 非支配的確率測度の族上での2BSDEJの本質的上限表現を用いて、PIDEの連続的解と関連づける。
• ジャンプ付きBSDEの安定性および比較結果を用いて、停止時刻における下半連続性および極限の議論を扱う。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 近似や双対性に依存せずに、直接的手法により2次BSDEJの完全な適切性理論を確立できるか？
• RQ2 2BSDEJの解は、ジャンプ成分を含む完全非線形PIDEの連続的解に対する確率的表現を提供するか？
• RQ3 基礎となる過程にジャンプを含めることで、モデル不確実性下での完全非線形PDEの解の表現にどのような影響を与えるか？
• RQ4 非リプシッツ型生成子を持つジャンプ拡散過程に対しても、非線形Feynman-Kac公式を拡張できるか？
• RQ5 非支配的確率測度下で2BSDEJの解を構築するにあたり、正規条件付き確率分布が果たす役割は何か？

主な発見

• 本稿は、直接的手法を用いて2BSDEJの解の存在を確立し、この方程式クラスの完全な適切性理論を構築した。
• 2BSDEJの解が関連する完全非線形PIDEの連続的解であることが示され、古典的非線形Feynman-Kac公式がジャンプ拡散設定へ拡張された。
• モデル不確実性下でも確率的表現が成立し、解は非支配的確率測度の族上での本質的上限として定義される。
• 本手法は、状態空間の分割による近似確率測度の構築と、ジャンプ付きBSDEの比較定理を用いた安定性および収束の導出に依存する。
• 値関数 $ u $ が $ (t,x) $ において $ t $ の右から下半連続であれば、一般の停止時刻への表現への拡張が極限の議論により可能となる。
• 従来の連続的ケースにおける2BSDEの研究を一般化し、ジャンプ付き完全非線形PIDEにおける確率的手法の厳密な基盤を提供した。