[論文レビュー] Second order models for optimal transport and cubic splines on the Wasserstein space

Jean‐David Benamou, Thomas Gallouët+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 12, 2018

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 33被引用数 24

ひとこと要約

本稿では、立方スプライン補間を Wasserstein 空間の確率測度に拡張することで、最適輸送の2次モデルを導入する。問題は、エントロピー正則化と半離散法を用いた多準拠最適輸送の緩和問題として定式化され、数値計算における Wasserstein スプラインの収束保証と、1次元および2次元の例での実証的性能を実現する。

ABSTRACT

On the space of probability densities, we extend the Wasserstein geodesics to the case of higher-order interpolation such as cubic spline interpolation. After presenting the natural extension of cubic splines to the Wasserstein space, we propose a simpler approach based on the relaxation of the variational problem on the path space. We explore two different numerical approaches, one based on multi-marginal optimal transport and entropic regularization and the other based on semi-discrete optimal transport.

研究の動機と目的

• リーマン多様体からの立方スプライン補間を、確率測度の Wasserstein 空間へ拡張すること。
• Wasserstein 距離における経路の加速度の最小化に基づく、高次スプラインの変分定式化を構築すること。
• 多準拠最適輸送を用いた、Wasserstein スプラインの数値的計算が可能な手法を開発すること。
• 2つの数値的手法（Sinkhorn アルゴリズムを用いたエントロピー正則化と、ラゲール細胞を用いた半離散最適輸送）の比較と実装を行うこと。
• 1次元および2次元のデータに対して手法を検証し、収束性と計算可能性を示すこと。

提案手法

• Wasserstein 空間における立方スプラインを、確率測度の空間内での経路の二乗加速度の最小化問題として定式化する。
• 変分問題を、離散的な時刻における位置と速度の周辺制約を持つ多準拠最適輸送問題に緩和する。
• 多準拠最適輸送問題にエントロピー正則化を適用し、Sinkhorn アルゴリズムで解ける強い凸最適化問題に変換する。
• テンソル化されたカーネル構造を用いて計算コストを削減し、N 個の時刻ステップと Nx 個のグリッド点を想定した2次元では O(N Nx⁴) の複雑度を達成する。
• 代替的手法として、空間領域を離散化し、ラゲール細胞を計算することで半離散最適輸送を実行する。
• 座標に基づくハミルトニアン定式化とクリストッフェル記号を用いて、測地線および立方スプラインの運動のオイラー＝ラグランジュ方程式を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 立方スプライン補間は、無限次元の Wasserstein 空間におけるリーマン多様体から一般化可能か？
• RQ2 Wasserstein 空間における高次スプラインの適切な変分定式化は何か？ また、数値計算のための緩和はどのように可能か？
• RQ3 エントロピー正則化と半離散法は、Wasserstein スプラインの効率的計算にどのように適合可能か？
• RQ4 提案された数値スキームの収束性と計算複雑度は何か？
• RQ5 1次元および2次元のテストケースにおいて、エントロピー法と半離散法の2つの数値的手法は、精度と効率の点でどのように比較されるか？

主な発見

• 提案された Wasserstein 空間における立方スプライン問題の緩和は、連続的かつ強い凸コスト関数を持つ多準拠最適輸送問題と等価である。
• エントロピー正則化アプローチにより、Sinkhorn アルゴリズムを用いた効率的計算が可能となり、2次元ではテンソル化されたカーネル構造を活用して O(N Nx⁴) の複雑度を達成する。
• 半離散法はラゲール細胞を計算することで輸送問題を解き、エントロピー正則化とは異なる数値的性質を持つ代替手法を提供する。
• 1次元および2次元における数値実験により、Wasserstein スプラインの計算に向けた手法の実現可能性と収束性が示された。
• 理論的解析により、緩和問題が弱い条件下で元の変分問題と同じ解を達成することが確認され、最小化子の存在と一意性が確立された。
• 本手法により、変分スプラインが Wasserstein 空間へ一般化され、画像処理や形状解析における時系列補間のための新たなフレームワークが提供された。