[論文レビュー] Second order optimality conditions for strong local minimizers via subgradient graphical derivative

Nguyễn Huy Chiêu, Le Van Hien+2 more|arXiv (Cornell University)|Mar 13, 2019

Optimization and Variational Analysis参考文献 31被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、部分勾配の図形的導関数を用いて、非滑らか最適化における強い局所的最小解の2次最適性条件を確立し、特定の正則性条件下で、この導関数の正定値性が、近似停留点において必要かつ十分であることを示している。これは、$C^2$-コーン還元可能な計画においてロビンソンの制約規準をより弱いメトリック下正則性制約規準に置き換えることで、古典的結果を拡張し、2次的成長と部分劣微分の強いメトリック下正則性を結びつける。

ABSTRACT

This paper is devoted to the study of second order optimality conditions for strong local minimizers in the frameworks of unconstrained and constrained optimization problems in finite dimensions via subgradient graphical derivative. We prove that the positive definiteness of the subgradient graphical derivative of an extended-real-valued lower semicontinuous proper function at a proximal stationary point is sufficient for the quadratic growth condition. It is also a necessary condition for the latter property when the function is either subdifferentially continuous, prox-regular, twice epi-differentiable or variationally convex. By applying our results to the $\mathcal{C}^2$-cone reducible constrained programs, we establish no-gap second order optimality conditions for (strong) local minimizers under the metric subregularity constraint qualification. These results extend the classical second order optimality conditions by surpassing the well-known Robinson's constraint qualification. Our approach also highlights the interconnection between the strong metric subregularity of subdifferential and quadratic growth condition in optimization problems.

研究の動機と目的

• 非凸・非滑らか最適化における強い局所的最小解を、部分勾配の図形的導関数を用いて特徴付けること。
• ロビンソンの制約規準よりも弱い制約規準の下で、制約付き$C^2$-コーン還元可能な計画に対して、ギャップのない2次最適性条件を確立すること。
• プライマル・デュアル構造を用いて、2次的成長条件と部分劣微分の強いメトリック下正則性の関係を結ぶこと。
• 図形的導関数の技法を用いて、凸および半代数的設定を超えた古典的2次最適性条件を拡張すること。

提案手法

• 論文は、強い局所的最小解を分析するためのプライマル・デュアル2次構造として、部分勾配の図形的導関数を用いる。
• 近似停留点における部分勾配の図形的導関数の正定値性が、2次的成長条件を示すことを証明する。
• 特定の関数クラスにおいて、2次的成長と部分劣微分の強いメトリック下正則性の間の同値性に依拠する。
• 制約付き問題に対しては、メトリック下正則性制約規準（MSCQ）の下で、$C^2$-コーン還元可能な計画に適用可能である。
• 変分解析の道具、特に近似正則性、劣微分連続性、2回の上位微分可能性（twice epi-differentiability）を活用する。
• 主な結果は、図形的導関数を制限劣微分と結びつけ、最適化における安定性特性を用いて導出される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 部分勾配の図形的導関数は、非凸的・非滑らか最適化における強い局所的最小解を特徴付ける2次構造として機能できるか？
• RQ2 凸性よりも弱い正則性仮定の下で、部分勾配の図形的導関数の正定値性が、2次的成長に対して必要かつ十分であるか？
• RQ3 メトリック下正則性制約規準（MSCQ）は、$C^2$-コーン還元可能な計画において、ギャップのない2次最適性条件を確立するために十分か？
• RQ4 非凸設定において、部分劣微分の強いメトリック下正則性と2次的成長条件の関係は何か？
• RQ5 ロビンソンの制約規準を置き換えるMSCQの下で、古典的2次最適性十分条件を完全に特徴づけられるか？

主な発見

• 非制約・非滑らか最適化において、近似停留点における部分勾配の図形的導関数の正定値性は、2次的成長条件を示すのに十分である。
• 関数が劣微分連続性、近似正則性、2回の上位微分可能性、または変分的凸性を満たす場合、この条件は2次的成長に対して必要となる。
• $C^2$-コーン還元可能な計画において、古典的2次最適性十分条件は、メトリック下正則性制約規準（MSCQ）の下で、強い局所的最小解を完全に特徴付ける。
• MSCQはロビンソンの制約規準（RCQ）よりも厳密に弱く、2次最適性条件の適用範囲を広げられる。
• 考察対象の2つの広範な関数クラスにおいて、部分劣微分の強いメトリック下正則性は2次的成長条件と同値である。
• 結果として、MSCQの下で制約付き計画における強い局所的最小解のギャップのない特徴づけが得られ、従来のより強い制約規準を要する結果を拡張する。