[論文レビュー] Second order parameter{uniform convergence for a flnite difierence method for a singularly perturbed linear reaction{difiusion system ⁄

Paramasivam Mathiyazhagan, Valarmathi Sigamani+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 5, 2010

Differential Equations and Numerical Methods参考文献 6被引用数 10

ひとこと要約

本稿では、異なる小さなパラメータを有する特異摂動反応拡散系に対して、シシュキンの区分的均等メッシュ上での有限差分法を提示する。数値解について、すべてのパラメータ値に対して2次のパrameter-一様収束を証明し、すべてのパrameter値において一貫した精度を保証する。

ABSTRACT

A singularly perturbed linear system of second order ordinary difierential equa- tions of reaction-difiusion type with given boundary conditions is considered. The leading term of each equation is multiplied by a small positive parameter. These singular per- turbation parameters are assumed to be distinct. The components of the solution exhibit overlapping layers. Shishkin piecewise{uniform meshes are introduced, which are used in conjunction with a classical flnite difierence discretisation, to construct a numerical method for solving this problem. It is proved that the numerical approximations obtained with this method are essentially second order convergent uniformly with respect to all of the param- eters. AMS subject classiflcations: 65L10, 65L12, 65L20, 65L70

研究の動機と目的

• 異なる反応拡散層を有する2階線形常微分方程式の特異摂動系の数値解法を扱う。
• 各方程式に異なる摂動パラメータが存在する場合に生じる境界層の重なりという課題を克服する。
• 小さなパラメータに依存しない高次収束を維持するロバストな数値法を開発する。
• すべての摂動パラメータに対して離散解の一様収束を証明する。

提案手法

• 境界層を解像できるように、シシュキンの区分的均等適合メッシュ上で古典的な有限差分スキームを適用する。
• メッシュを階層的に細かくすることで、境界層領域に点を集中させ、鋭い層の解像を保証する。
• 適合メッシュ上で標準中央差分を用いて系を離散化する。
• 安定性および一貫性解析を用いて収束特性を確立する。
• 理論的解析により、この方法がすべての摂動パラメータに対して2次収束を達成することが証明される。
• 収束証明は、離散的最大原理および特別なバリア関数の使用に依存する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 標準的な有限差分法は、異なる小さなパラメータを有する特異摂動反応拡散系に対して2次収束を達成できるか？
• RQ2 シシュキンメッシュの使用は、系のすべてのパラメータ値において一様収束を保証するか？
• RQ3 重複する境界層は、古典的な有限差分スキームの収束特性にどのように影響するか？
• RQ4 適合メッシュ上の標準離散化を用いて、このような系に対してパラメータ-一様収束を証明することは可能か？

主な発見

• 提案されたシシュキンメッシュ上での有限差分法は、離散的最大ノルムにおいて2次収束を達成する。
• 収束速度は、すべての摂動パラメータに対して一様であり、特に異なる小さなパラメータに対しても同様に成立する。
• 摂動パラメータの大きさが著しく異なる場合でも、この方法はロバストな精度を維持する。
• 理論的解析により、この方法がパラメータに依存しない一様収束性を有することが確認され、誤差が小さなパラメータに依存せずに有界であることが示された。