[論文レビュー] Second variational derivative of gauge-natural invariant Lagrangians and conservation laws

M. Francaviglia, Marcella Palese+1 more|ArXiv.org|Nov 8, 2004

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 26被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、ゲージ・ノンタラルなラグランジアンから導かれる変形ラグランジアンと、ゲージ・ノンタラルな無限小主同型の垂直部分の変分的第二導関数を用いた、共変的かつ強く保存されるカレントの標準的関係を確立する。主な結果は、このようなカレントが、一般化されたゲージ・ノンタラル・ジャコビ写像の核に属するベクトル場である場合にのみ生じることであり、これはゲージ・ノンタラルな設定におけるネーターの第二定理を一般化し、保存則を一般化されたビアンキ恒等式と結びつける。

ABSTRACT

We consider the second variational derivative of a given gauge-natural invariant Lagrangian taken with respect to (prolongations of) vertical parts of gauge-natural lifts of infinitesimal principal automorphisms. By requiring such a second variational derivative to vanish, {\em via} the Second Noether Theorem we find that a covariant strongly conserved current is canonically associated with the deformed Lagrangian obtained by contracting Euler--Lagrange equations of the original Lagrangian with (prolongations of) vertical parts of gauge-natural lifts of infinitesimal principal automorphisms lying in the kernel of the generalized gauge-natural Jacobi morphism.

研究の動機と目的

• 場の理論におけるゲージ・ノンタラル枠組みへのネーターの第二定理の一般化を図ること。
• 無限小主同型のゲージ・ノンタラルな持ち上げに対する、セクションのリー微分を用いて一般化されたゲージ・ノンタラル・ジャコビ写像を定義すること。
• 保存カレントと、オイラー＝ラグランジュ方程式およびこれらの持ち上げの垂直部分から構成された変形ラグランジアンとの間の標準的対応を確立すること。
• 有限次元ジャンプ倍長のゲージ・ノンタラルバンドル上での変分法の枠組みにおいて、第二変分的導関数が保存則を導出する役割を明確にすること。

提案手法

• ゲージ・ノンタラルな不変ラグランジアンの第二変分的導関数を、無限小主同型のゲージ・ノンタラルな持ち上げの垂直部分の延長に関して計算する。
• 一般化されたゲージ・ノンタラル・ジャコビ写像を、これらの持ち上げに沿ったセクションのリー微分を用いて、第二変分から誘導される写像として定義する。
• ゲージ・ノンタラルバンドルの有限次元ジャンプ倍長の上での変分的系列の枠組みを用いて、第二変分の構造とオイラー＝ラグランジュ写像との関係を分析する。
• 第二ネーター定理を適用し、第二変分的導関数と一般化されたビアンキ写像との関係を関係づけ、関連する保存カレントを導出する。
• 元のラグランジアン λ のオイラー＝ラグランジュ方程式を、ゲージ・ノンタラルな持ち上げの垂直部分と合同することで、変形ラグランジアン ω を構成する。
• 第二変分の同値類を発散項のモジュロで分析し、ベクトル場がジャコビ写像の核に属する場合に、臨界セクション上でそれが消えることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 標準的対称性が存在しない状況において、ゲージ・ノンタラル不変ラグランジアンの第二変分的導関数は、どのように保存則を導出できるか？
• RQ2 有限次元ジャンプバンドルの文脈において、一般化されたゲージ・ノンタラル・ジャコビ写像の幾何学的・代数的構造は何か？
• RQ3 第二変分的導関数がどのような条件下で消え、そのことは保存カレントの存在にどのような意味を持つのか？
• RQ4 第二ネーター定理は、特に一般化されたビアンキ恒等式とどのように関係するか、ゲージ・ノンタラル場理論へどのように拡張されるか？
• RQ5 変分双複体の枠組みにおいて、一般化された対称性の特徴方程式と第二変分的導関数の間には、どのような本質的関係があるか？

主な発見

• 元のラグランジアン λ のオイラー＝ラグランジュ方程式と、無限小主同型のゲージ・ノンタラルな持ち上げの垂直部分との合同から得られる変形ラグランジアン ω と、共変的かつ強く保存されるカレントが標準的に関連づけられる。
• 保存カレントは、ベクトル場が一般化されたゲージ・ノンタラル・ジャコビ写像の核に属する場合にのみ生じ、第二変分的導関数が消えることを保証する。
• λ に対するこのようなベクトル場に関する第二変分的導関数は、発散項のモジュロで、第二変分とジャコビ写像の差に等しく、この同値類は臨界セクション上で消える。
• 一般化されたジャコビ写像は、オイラー＝ラグランジュ写像 En(λ) の垂直微分として特徴づけられ、第二変分の幾何的解釈を提供する。
• [15]における一般化された対称性の特徴方程式は、発散項のモジュロで、第二変分的導関数からジャコビ写像を引いたものと等価であり、臨界セクション上で消えることが示された。
• ジャコビ写像の核に属するベクトル場に沿ったラグランジアンのリー微分は、常に全微分であるため、元のラグランジアン λ の発散対称性であることが示された。