[論文レビュー] Selectively (a)-spaces from almost disjoint families are necessarily countable under a certain parametrized weak diamond principle

Charles J. Morgan, Samuel G. da Silva|arXiv (Cornell University)|Sep 19, 2016

Advanced Topology and Set Theory参考文献 17被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、特定のパラメータ化された弱ダイアモンド原則の下で、ほとんど分離族から導かれる任意の選択的(a)-空間は可算であることを確立している。著者らは、有効なパラメータ化された弱ダイアモンド原則 $\top(\omega,<)$ が $\chi_{\text{vssau0027}} = \aleph_1$ を示し、この仮定のもとではCHが成り立たない場合でさえ、非可算な選択的(a)ほとんど分離族が存在しえないことを保証している。

ABSTRACT

The second author has recently shown ([20]) that any selectively (a) almost disjoint family must have cardinality strictly less than $2^{\alpeh_0}$, so under the Continuum Hypothesis such a family is necessarily countable. However, it is also shown in the same paper that $2^{\alpeh_0} &lt; 2^{\alpeh_1}$ alone does not avoid the existence of uncountable selectively (a) almost disjoint families. We show in this paper that a certain effective parametrized weak diamond principle is enough to ensure countability of the almost disjoint family in this context. We also discuss the deductive strength of this specific weak diamond principle (which is consistent with the negation of the Continuum Hypothesis, apart from other features).

研究の動機と目的

• 非可算な選択的(a)ほとんど分離族がどの集合論的仮定のもとで除外できるかを特定すること。
• 特定のパラメータ化された弱ダイアモンド原則の帰納的強度が、選択的被覆性質に関連する基数不変量を制御する力について分析すること。
• ZFCおよび強制モデルにおける$\Psi$-空間の位相的性質と組合せ的基数不変量を結びつけること。
• $\top(\omega,<)$ の整合性とその ${\mathfrak{v}}{\mathfrak{s}}{\mathfrak{s}}{\mathfrak{a}}$ に対する意味・影響を調査すること。

提案手法

• 著者らは、パラメータ化された弱ダイアモンド原則 $\top(\omega,<)$ を用いて、非可算なほとんど分離族が選択的(a)性質を破る可能性があることを示す対角線的証明を構築する。
• 彼らは[20]の定理1を適用し、選択的(a)空間における閉じた離散部分集合の大きさが $2^{d(X)}$ で抑えられることを用いて、ほとんど分離族の大きさを制限する。
• 証明は、$\top(\omega,<)$ の有効性を活用し、空間を最終的に被覆する集合の列を構成することで、非可算性に矛盾を引き起こす。
• 証明は、ほとんど分離族から得られる$\Psi$-空間の文脈に埋め込まれており、その位相的構造を用いて組合せ的帰結を導出する。
• 彼らは基数不変量 ${\mathfrak{v}}{\mathfrak{s}}{\mathfrak{s}}{\mathfrak{a}}$ を既知の不変量 $\mathfrak{d}$ および $\mathfrak{c}$ と関連づけ、$\mathfrak{d} \leq \mathfrak{v}_{\text{ss}a}$ を示している。
• 彼らは $\square(\omega,<)$ と $2^{\aleph_0} < 2^{\aleph_1}$ などの他の原理との強さを比較し、${\mathfrak{v}}{\mathfrak{s}}{\mathfrak{s}}{\mathfrak{a}}$ を制御する観点で $\square(\omega,<)$ がより強いことを示している。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 パラメータ化された弱ダイアモンド原則 $\square(\omega,<)$ は、すべての選択的(a)ほとんど分離族が可算であることを保証するのに十分か？
• RQ2 $\square(\omega,<)$ は $\mathfrak{v}_{\text{ss}a} = \aleph_1$ を示すのに十分な強さを持つか？
• RQ3 $2^{\aleph_0} < 2^{\aleph_1}$ だけでは、非可算な選択的(a)ほとんど分離族の存在を防げないか？
• RQ4 $\mathfrak{d}$ は $\mathfrak{v}_{\text{ss}a}$ の下界であるか？また、$\mathfrak{v}_{\text{ss}a} = \mathfrak{d}$ はZFCで証明可能か？
• RQ5 $\square(\omega,<)$ の帰納的強度は、位相的選択的原理の文脈における他の集合論的仮定と比較してどの程度か？

主な発見

• $\square(\omega,<)$ は $\mathfrak{v}_{\text{ss}a} = \aleph_1$ を示し、この仮定のもとでは、選択的(a)ほとんど分離族はすべて可算でなければならない。
• $\square(\omega,<)$ は $\aleph_1 < \mathfrak{d}$ と両立可能であり、支配数の大きさとは独立していることを示している。
• ZFCにおいて不等式 $\mathfrak{d} \leq \mathfrak{v}_{\text{ss}a}$ が成り立つため、$\mathfrak{d}$ は $\mathfrak{v}_{\text{ss}a}$ の下界である。
• この論文は、$2^{\aleph_0} < 2^{\aleph_1}$ だけでは $\mathfrak{v}_{\text{ss}a} = \aleph_1$ を示せないことを示しており、$\mathfrak{v}_n = \aleph_1$ の場合とは異なる。
• $\square(\omega,<)$ は $\mathfrak{v}_{\text{ss}a} = \aleph_1$ と $\mathfrak{v}_{\text{cp}} = \aleph_1$ の両方を示すため、複数の基数不変量を制御する強力さを持つ。
• 著者らは、CHが成り立たない場合でさえ、$\square(\omega,<)$ が非可算な選択的(a)ほとんど分離族の存在を排除するのに十分であることを確立している。