[論文レビュー] Self-adjoint Extensions of Restrictions

Andrea Posilicano|ArXiv.org|Mar 27, 2007

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 13被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、自己随伴作用素 A を稠密な閉部分空間 N ⊂ D(A) に制限して得られる対称作用素 S のすべての自己随伴拡張を、S* や欠損空間を事前に求めないで、射影 Π と Π の像内に値をとる作用素 Θ でパラメータ化する新しい手法を提示する。主な貢献は、フォン・ノイマン理論と境界三重項理論の両者と整合する統一的枠組みを提供することであり、境界条件を伴う微分作用素への応用が可能である。

ABSTRACT

We provide a simple recipe for obtaining all self-adjoint extensions, together with their resolvent, of the symmetric operator $S$ obtained by restricting the self-adjoint operator $A:\D(A)\subseteq\H o\H$ to the dense, closed with respect to the graph norm, subspace $\N\subset \D(A)$. Neither the knowledge of $S^*$ nor of the deficiency spaces of $S$ is required. Typically $A$ is a differential operator and $\N$ is the kernel of some trace (restriction) operator along a null subset. We parametrise the extensions by the bundle $π:\E(\fh) o¶(\fh)$, where $¶(\fh)$ denotes the set of orthogonal projections in the Hilbert space $\fh\simeq \D(A)/\N$ and $π^{-1}(Π)$ is the set of self-adjoint operators in the range of $Π$. The set of self-adjoint operators in $\fh$, i.e. $π^{-1}(1)$, parametrises the relatively prime extensions. Any $(Π,Θ)\in \E(\fh)$ determines a boundary condition in the domain of the corresponding extension $A_{Π,Θ}$ and explicitly appears in the formula for the resolvent $(-A_{Π,Θ}+z)^{-1}$. The connection with both von Neumann's and Boundary Triples theories of self-adjoint extensions is explained. Some examples related to quantum graphs, to Schrödinger operators with point interactions and to elliptic boundary value problems are given.

研究の動機と目的

• 対称作用素 S = A|N のすべての自己随伴拡張を完全かつ明示的に分類すること。
• S* や S の欠損空間を事前に知らなくてもよい、これらの拡張のリゾルベント公式を導出すること。
• 射影の集合 P(h) へのバンドル p: E(h) → P(h) を用いた自己随伴拡張の統一的パラメータ化を確立すること。ここで h ≃ D(A)/N はヒルベルト空間である。
• 提案されたパラメータ化が、フォン・ノイマンの自己随伴拡張理論および境界三重項理論とどのように関連するかを示すこと。
• 本手法が、量子グラフ、点状相互作用、および楕円型境界値問題といった具体的な問題への応用が可能であることを示すこと。

提案手法

• 本手法は、h ≃ D(A)/N 内の正射影 Π と、Π の像上に作用する自己随伴作用素 Θ でパラメータ化された自己随伴拡張 AΠ,Θ を構成する。
• 制限作用素のトレース作用素と解作用素に基づいて定義される G(z) と Γ(z) を用いた、Kreĭn 型のリゾルベント公式を導出する。この公式は (−AΠ,Θ + z)−1 に対して成り立つ。
• 各拡張の定義域は、τ₀ψ|X = Lρψ の形の境界条件によって特徴づけられる。ここで X ⊆ H⁻¹/²(∂Ω) であり、L は L²(∂Ω) 対双対性の下で X からその双対へ写像する自己随伴作用素である。
• ユニタリ写像 U: K₊ → K₋ とペア (Π, Θ) の間の全単射を示すことにより、(Π, Θ) を用いたパラメータ化がフォン・ノイマンのユニタリパラメータ化と同値であることを証明し、構成法がすべての自己随伴拡張を網羅することを示した。
• 境界三重項理論との関係を確立するため、h ⊕ h 内の任意の自己随伴関係が G(Θ) ⊕ h₀⊥ の形に書けることを示した。ここで G(Θ) は、部分空間 h₀ 上に定義された自己随伴作用素 Θ のグラフである。
• 有界領域上のラプラシアン作用素に本手法を適用し、Π = 1 かつ Θ = ΘB（ΘB = −P + BΛ）のときロビン型境界条件が回復されることを示した。また、ΘB が自己随伴であるための十分条件は、ϕ ∈ H⁻¹/²(∂Ω) ならば (−P + B)ϕ ∈ H¹/²(∂Ω) かつ (−P + B)ϕ ∈ H³/²(∂Ω) であることを示した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 S = A|N のすべての自己随伴拡張を、S* や欠損空間を計算せずにどのようにパラメータ化できるか？
• RQ2 制限作用素のデータとパラメータ (Π, Θ) を用いて、各自己随伴拡張 AΠ,Θ のリゾルベントの明示的形は何か？
• RQ3 提案されたパラメータ化は、フォン・ノイマンのユニタリパラメータ化とどのように関係しているか？
• RQ4 境界三重項理論と本構成法は、特に楕円型境界値問題の文脈でどのように整合するか？
• RQ5 トレース条件によって定義される対称作用素が自己随伴となるための条件は何か？ また、そのような拡張はどのように明示的に構成できるか？

主な発見

• S のすべての自己随伴拡張は、バンドル p: E(h) → P(h) を用いてパラメータ化される。ここで E(h) は、h 内の射影 Π と、Π の像上に作用する自己随伴作用素 Θ からなるペア (Π, Θ) の集合である。
• 各拡張 AΠ,Θ のリゾルベントは、Kreĭn 型の公式で与えられる： (−AΠ,Θ + z)−1 = (−A + z)−1 + G(z)Π(Θ + ΠΓ(z)Π)−1ΠG(ẑ)∗。ここで G と Γ はトレース関連作用素である。
• AΠ,Θ の定義域は、X が H⁻¹/²(∂Ω) の閉部分空間であり、L が X からその双対へ写像する自己随伴作用素であるという境界条件 τ₀ψ|X = Lρψ によって特徴づけられる。
• パラメータ化 (Π, Θ) は、フォン・ノイマンのユニタリパラメータ化と同値であり、構成法がすべての可能な自己随伴拡張を生成することを示した。
• 有界領域上のラプラシアンに対して、Π = 1 かつ Θ = ΘB（ΘB = −P + BΛ）のとき、本手法はロビン型境界条件を回復する。また、ΘB が自己随伴であるための条件は、ϕ ∈ H⁻¹/²(∂Ω) ならば (−P + B)ϕ ∈ H¹/²(∂Ω) かつ (−P + B)ϕ ∈ H³/²(∂Ω) である。
• 本構成法は、[13]、[22]、[27] などの既存の結果と整合しており、微分作用素理論における自己随伴拡張の統一的枠組みを提供する。