[論文レビュー] Self-consistent tomography of the state-measurement Gram matrix

Cyril Stark|DSpace@MIT (Massachusetts Institute of Technology)|Sep 25, 2012

Matrix Theory and Algorithms参考文献 1被引用数 11

ひとこと要約

本稿では、非デgenerate射影測定などのグローバルに完成可能な測定を仮定することで、半正定値計画法を用いた自己整合的な方法により、状態-測定のグラム行列を再構成することを提案する。この手法は、ヒルベルト空間内での同時ユニタリ回転を除き、量子状態および測定演算子を一意に特定する。大標本極限において、厳密な信頼性が保証される。

ABSTRACT

State and measurement tomography make assumptions about the experimental states or measurements. These assumptions are often not justified because state preparation and measurement errors are unavoidable in practice. Here we describe how the Gram matrix associated with the states and measurement operators can be estimated via semidefinite programming if the states and the measurements are so called globally completable. This is for instance the case if the unknown measurements are known to be projective and non-degenerate. The computed Gram matrix determines the states, and the measurement operators uniquely up to simultaneous rotations in the space of Hermitian matrices. We prove the reliability of the proposed method in the limit of a large number of independent measurement repetitions.

研究の動機と目的

• 量子トモグラフィーにおける状態準備および測定誤差の課題に取り組み、状態や測定に関する理想化された仮定に依存しないようにすること。
• 事前の状態や測定の知識なしに、実験的周波数データから量子状態および測定演算子のグラム行列を再構成する手法を開発すること。
• グラム行列の構造と半正定値計画法を活用することで、システム的誤差に対して耐性を持つ再構成を実現すること。
• 大標本サイズの極限においてボーンの法則が正確に成立する条件下で、この手法の信頼性を証明すること。
• グラム行列がユニタリ同値性を除き、元の状態および測定を一意に特定する条件を確立すること。

提案手法

• 実験データを、大N極限における $ f_{k|wv} = \mathrm{tr}(\rho_w E_{vk}) $ の周波数表 $\mathcal{D}$ として定式化する。
• 状態 $\rho_w$ および測定演算子 $E_{vk}$ を $\mathbb{R}^{d^2}$ 内の実ベクトル $\vec{\rho}_w, \vec{E}_{vk}$ として表現し、線形内積表現を可能にする。
• 状態-測定グラム行列 $G = P^T P$ を構築する。ここで $P = (P_{\text{st}} \mid P_{\text{m}})$ であり、$P_{\text{st}}$ と $P_{\text{m}}$ はそれぞれ状態および測定ベクトルを含む。
• 実験的周波数データ $\vec{\mathcal{K}}$ と一致する制約 $G_\Omega = \vec{\mathcal{K}}$ および $\text{rank}(G) = \text{rank}(\mathcal{D})$ を満たすように、$\mathcal{G}_{\text{QM}}$（量子実現可能なグラム行列の集合）に属する $G$ を半正定値計画法により回復する。
• スペクトルノルムの単位球上での行列ランク関数の凸包が $\mathrm{rank}^{**}(Z) = \mathrm{tr}(Z)$ であることを証明し、効率的な最適化を可能にする。
• ハール一様乱数で生成された純粋状態および回転させた射影測定を用いた数値的検証により、小特異値に対する閾値 $\tau = 10^{-4}$ を用いてランクの一貫性を評価する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 実験的周波数から、理想状態や測定を仮定せずに状態-測定グラム行列を再構成可能か？
• RQ2 ユニタリ同値性を除き、グラム行列がいつ一意に定まるか？
• RQ3 状態準備および測定におけるシステム的誤差は、量子トモグラフィーでどのように軽減できるか？
• RQ4 グローバルに完成可能な測定（例：非デジェネレート射影測定）は、自己整合的再構成を可能にする上で果たす役割は何か？
• RQ5 スペクトルノルム球上でのランク制約の凸緩和（トレースノルムによる最小化）は、大標本極限における信頼性の高い再構成をどのように保証するか？

主な発見

• 状態および測定がグローバルに完成可能である限り、グラム行列 $G$ はヒルベルト空間内の同時ユニタリ回転を除き一意に決定される。
• 大標本極限 $N \to \infty$ において、実験的周波数がボーンの法則確率に収束するため、再構成が信頼できる。
• ランク条件 $\mathrm{rank}(G) = \mathrm{rank}(\mathcal{D})$ により、完全なグラム行列と観測されたデータ行列の間に一貫性が保証される。
• スペクトルノルム球上での行列ランク関数の凸包はトレース関数に一致し、トレース最小化により効率的な半正定値計画法が可能になる。
• 数値実験により、小特異値に対する閾値 $\tau = 10^{-4}$ を用いた場合、再構成されたグラム行列のランクが $\mathcal{D}$ と一致することが確認された。
• 本手法は、統計的フラクチュエーションを考慮するがシステム的誤差を無視する信頼領域法とは直交しており、モデルの不完全性に対する耐性に焦点を当てる。