[論文レビュー] Self-isospectral tri-supersymmetry in PT-symmetric quantum systems with pure imaginary periodicity

Francisco Correa, Mikhail S. Plyushchay|arXiv (Cornell University)|Jan 13, 2012

Quantum Mechanics and Non-Hermitian Physics参考文献 67被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、純虚周期性を有する複素化されたスカーフIIポテンシャルに基づく、PT対称量子系における新しい自己同型スペクトルを有する三重スーパー対称性を提案する。相互にずらされたハミルトニアン間の隠れた相互作用を介した離散的対称性の分析を通じて、反射なし（有限ギャップ）の性質を記述する3つの行列微分作用素を含む、非線形的、自己同型スペクトル的、および標準的スーパー対称性を統合する隠れた三重スーパー対称構造が明らかになった。この構造は、2つの異なるsl(2,C)表現を実現する2つの状態族に状態が分割されることを示している。

ABSTRACT

We study a reflectionless PT-symmetric quantum system described by the pair of complexified Scarf II potentials mutually displaced in the half of their pure imaginary period. Analyzing the rich set of intertwining discrete symmetries of the pair, we find an exotic supersymmetric structure based on three matrix differential operators that encode all the properties of the system, including its reflectionless (finite-gap) nature. The structure we revealed particularly sheds new light on the splitting of the discrete states into two families, related to the bound and resonance states in Hermitian Scarf II counterpart systems, on which two different series of irreducible representations of sl(2,C) are realized.

研究の動機と目的

• 有限ギャップで反射なしの性質を示す非ヒルベルト型、PT対称量子系における三重スーパー対称性の存在を調査すること。
• 純虚周期性が、複素化されたスカーフIIポテンシャルにおける自己同型スペクトル性と特異なスーパー対称性を可能にする役割を明確にすること。
• 離散的対称性、スーパークーラス、および束縁状態と共鳴状態が2つの明確に区別される族に分割される相互作用を特定・特徴付けること。
• 離散状態上でのsl(2,C)の2つの異なる既約表現の実現が、ヒルベルト型有限ギャップ系と類似した形でどのように実現されるかを調査すること。
• スーパー対称構造が、非ヒルベルト型系における正定値内積の構成に寄与するC荷電作用素の構築にどのように役立つかを特定すること。

提案手法

• 純虚周期の半分だけずらされた2つのPT対称型複素化スカーフIIポテンシャルの分析。
• ハミルトニアンを相互に接続する3つの行列微分作用素（スーパークーラス）の構築と、閉じた代数的構造の形成。
• 半周期ずらしや双対性変換を含む離散的対称性の同定。これらは整数と半整数のパラメータ格子を関連付ける。
• 結合作用素X±l,mとY±l,mを用いて、スーパークーラスCl,mとYl,mを構築し、三重スーパー対称性を生成する。
• グレーディング作用素Γ = σ3と、PT × 半周期ずらしといった代替選択肢を用い、スーパー対称代数のZ2グレーディングを定義する。
• ラメポテンシャルなど、自己同型スペクトル的ヒルベルト型有限ギャップ系との比較を通じて、三重スーパー対称構造の類似点と相違点を明らかにする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 PT対称型有限ギャップ量子系において、三重スーパー対称構造が非線形的、自己同型スペクトル的、および標準的スーパー対称性を統合可能か？
• RQ2 純虚周期性が、複素化されたスカーフIIポテンシャルにおける自己同型スペクトル性と反射なしの振る舞いをどのように可能にするか？
• RQ3 整数と半整数のパラメータ格子間の双対変換を含む離散的対称性が、三重スーパー対称性の出現に果たす役割は何か？
• RQ4 2つの異なる離散状態族（ヒルベルト型スカーフII系における束縁状態と共鳴状態に類似）は、この非ヒルベルト型枠組みにおいて、どのように異なるsl(2,C)表現に対応するか？
• RQ5 三重スーパー対称構造が、PT対称量子力学における正定値内積の構成に寄与するC荷電作用素の構築にどのように役立つか？

主な発見

• 純虚周期性を有するPT対称型複素化スカーフIIポテンシャルにおいて、自己同型スペクトル的三重スーパー対称性が実現され、3つの行列微分スーパークーラスによって特徴づけられる。
• 系は、整数または半整数のパラメータ値に対してのみ反射なし（有限ギャップ）の振る舞いを示す。これは、2つの状態族を交互に接続する離散的対称性に対応する。
• 2つの異なる離散状態族が出現し、それぞれがsl(2,C)の異なる既約表現を実現する。これは、ヒルベルト型スカーフII系における束縁状態と共鳴状態に類似している。
• 三重スーパー対称構造は、半周期ずらしや双対性操作を含む微分的および離散的対称性から構築された結合作用素X±l,mとY±l,mによって支えられている。
• 双対性対称性は、整数格子と半整数格子を入れ替えるが、これに類する微分作用素の類似物は存在せず、スーパークーラスCl,mとYl,mの役割を一意に交換する。
• この構造はヒルベルト型自己同型スペクトル的三重スーパー対称性を一般化するが、実周期性ではなく純虚周期性に依存する点で根本的に異なり、非ヒルベルト型PT対称ハミルトニアンを含む点でも相違する。