[論文レビュー] SELF-SIMILAR PRIOR AND WAVELET BASES FOR HIDDEN INCOMPRESSIBLE TURBULENT MOTION

F. Lavancier, S. Kadri-harouna|arXiv (Cornell University)|Feb 22, 2013

Image and Signal Denoising Methods参考文献 50被引用数 24

ひとこと要約

本稿では、画像系列からの非圧縮性乱流速度場の推定という不適切に定義された逆問題を効率的に解くために、発散なしの分数カリエン運動（fBm）のウェーブレットに基づく表現を提案する。自己相似性を持つfBm事前分布を、ホワイトニングフィルターや発散なしウェーブレットを用いた特殊なウェーブレット基底に分解することにより、分数ラプラシアン作用素に起因する数値的困難を克服し、最大後確信度（MAP）推定器の実装を可能にする。広範な数値的検証により、その有効性が確認されている。

ABSTRACT

Abstract. This work is concerned with the ill-posed inverse problem of estimating turbulent flows from the observation of an image sequence. From a Bayesian perspective, a divergence-free isotropic fractional Brownian motion (fBm) is chosen as a prior model for instantaneous turbulent velocity fields. This self-similar prior characterizes accurately second-order statistics of velocity fields in incompressible isotropic turbulence. Nevertheless, the associated maximum a posteriori involves a fractional Laplacian operator which is delicate to implement in practice. To deal with this issue, we propose to decompose the divergent-free fBm on well-chosen wavelet bases. As a first alternative, we propose to design wavelets as whitening filters. We show that these filters are fractional Laplacian wavelets composed with the Leray projector. As a second alternative, we use a divergence-free wavelet basis, which takes implicitly into account the incompressibility constraint arising from physics. Although the latter decomposition involves correlated wavelet coefficients, we are able to handle this dependence in practice. Based on these two wavelet decompositions, we finally provide effective and efficient algorithms to approach the maximum a posteriori. An intensive numerical evaluation proves the relevance of the proposed wavelet-based self-similar priors. Key words. Bayesian estimation, fractional Brownian motion, divergence-free wavelets, frac-tional Laplacian, connection coefficients, fast transforms, optic-flow, isotropic turbulence. AMS subject classifications. 60G18, 60G22, 60H05, 62F15, 65T50, 65T60 1. Introduction. This

研究の動機と目的

• 画像系列からの非圧縮性乱流速度場をベイズ推定を用いて回復するという、不適切に定義された逆問題に対処すること。
• 自己相似性および発散なしのfBm事前分布に対するMAP推定器における分数ラプラシアン作用素の計算不能性を克服すること。
• 発散性と自己相似性を保持するウェーブレット分解を活用することで、効率的かつ数値的に安定したアルゴリズムを開発すること。
• 乱流流れ再構成に関する広範な数値実験を通じて、提案されたウェーブレットベースの事前分布を検証すること。

提案手法

• 自己相似性のある2次モーメント統計を捉えるために、非圧縮性で等方的な分数カリエン運動（fBm）として乱流速度場をモデル化すること。
• ホワイトニングフィルターを用いてfBm事前分布をウェーブレット基底に変換し、フィルターとして分数ラプラシアンウェーブレットとLeray射影の合成を用いること。
• ウェーブレット構築の過程で発散なし制約を暗黙的に満たす発散なしウェーブレット基底を構築すること。
• 分数ラプラシアンの接続係数を再帰的畳み込みにより計算し、数値的安定性を確保するための漸近的境界条件を伴う線形方程式系を解くこと。
• 高速変換（FWT）を用いてウェーブレット係数を効率的に計算し、スケーラブルなMAP推定を可能にすること。
• Mallatの高速再帰的フィルタリングアルゴリズムを用いて分数ラプラシアンカーネルのウェーブレット変換を計算し、事前分布の作用を高速に計算可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ウェーブレットベースの表現は、乱流速度場の自己相似性および発散なしfBm事前分布を効果的にパラメータ化できるか？
• RQ2 ウェーブレット分解を用いることで、MAP推定における分数ラプラシアン作用素の数値的非実行性はどのように克服できるか？
• RQ3 ウェーブレットベースの事前分布は、乱流流れ再構成において、発散なしと自己相似性の物理的制約をどの程度保持するか？
• RQ4 ホワイトニングフィルターと発散なし基底の2つの提案手法は、精度と計算効率の観点からどのように比較できるか？

主な発見

• 提案されたウェーブレットベースの自己相似事前分布により、分数ラプラシアン作用素に起因する数値的困難を克服し、画像系列からの乱流速度場の効果的かつ効率的なMAP推定が可能になった。
• ホワイトニングフィルター手法により、Leray射影と組み合わせた分数ラプラシアンウェーブレットが構築され、安定的かつ実装可能な事前分布表現が得られた。
• 発散なしウェーブレット基底は発散なし制約を暗黙的に満たし、ウェーブレット係数の相関が生じても、計算は実行可能である。
• 数値的評価により、ウェーブレットベースの事前分布の有効性が確認され、現実的な画像観測モデル下でも、正確な乱流速度場の再構成が可能であることが示された。
• 漸近的境界条件を伴う線形方程式系を用いた接続係数の計算により、分数ラプラシアンカーネルの数値的精度と安定性が保証された。
• 高速変換（FWT）がウェーブレット係数の計算に成功裏に適用され、MAP推定器のスケーラブルかつ効率的な実装が可能になった。