[論文レビュー] Self-similar solutions to the mean curvature flows on Riemannian cone manifolds and special Lagrangians on toric Calabi-Yau cones

Akito Futaki, Kota Hattori+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 27, 2011

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 13被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、ユークリッド空間からリーマンの円錐多様体へ、平均曲率流れの自己相似解の理論を拡張する。位置ベクトルの法線成分を用いた一般化された自己相似性の定義を導入し、タイプ I_c 特異点—流れが円錐の頂点に収束し、径方向の減衰が制御される—において、放物型スケーリングにより自己相似解が得られることを証明する。これは、ヒュイステンの古典的結果を特異な円錐へ一般化するものである。

ABSTRACT

The self-similar solutions to the mean curvature flows have been defined and studied on the Euclidean space. In this paper we initiate a general treatment of the self-similar solutions to the mean curvature flows on Riemannian cone manifolds. As a typical result we extend the well-known result of Huisken about the asymptotic behavior for the singularities of the mean curvature flows. We also extend the results on special Lagrangian submanifolds on $\mathbb C^n$ to the toric Calabi-Yau cones over Sasaki-Einstein manifolds.

研究の動機と目的

• ユークリッド空間からリーマンの円錐多様体へ、平均曲率流れにおける自己相似解の概念を一般化すること。
• タイプ I_c 特異点を定義・分析すること。ここでは、流れが円錐の頂点に収束し、径方向の減衰が制御される。
• ヒュイステンのスケーリング技術とモナトニシティ公式をリーマンの円錐多様体へ拡張すること。
• 自己相似解を用いて、トーリック・カラビ–ヤウの円錐上に特殊ラグランジュ部分多様体を構成すること。
• 特殊ラグランジュ円錐の無限小変形空間を、リンク多様体上のラプラシアンの固有値に結びつけること。

提案手法

• メトリック $\bar{g} = dr^2 + r^2 g$ を持つリーマンの円錐多様体 $C(N) = N \times \mathbb{R}^+$ を定義する。
• 位置ベクトル $\vec{F} = r \frac{\partial}{\partial r}$ を導入し、$H = \lambda \vec{F}^\perp$ を用いて自己相似解を定義する。
• タイプ I_c 特異点を三つの条件で定義する：第二基本形式のタイプ I 減衰、頂点への径方向的収束、および $K_1(T-t) \leq \min_M r^2(F_t) \leq K_2(T-t)$。
• 特異極限を解析するため、放物型スケーリング $F^\lambda(p,s) = (\pi_N(F(p,T + s/\lambda^2)), \lambda r(F(p,T + s/\lambda^2)))$ を適用する。
• モナトニシティおよびスケーリング技術を用いて、スケーリングされた流れの部分列が自己相似解に収束することを示す。
• 特殊ラグランジュ円錐を、リンク多様体上の調和1次形式およびラプラシアンの固有関数と結びつける。$\beta = r\varphi\,dr + r^2\gamma$ で、$\gamma = \frac{1}{2}d\varphi$ かつ $\Delta_\Sigma \varphi = 2n\varphi$ を満たす。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 平均曲率流れにおける古典的自己相似解理論を、ユークリッド空間を超えてリーマンの円錐多様体へ拡張することは可能か？
• RQ2 円錐多様体上の平均曲率流れに対して、放物型スケーリングを施したとき、どのような条件下で自己相似極限が得られるか？
• RQ3 径方向的に頂点に収束するタイプ I_c 特異点は、ヒュイステンの元々の特異点モデルをどのように一般化するか？
• RQ4 ササキ＝エインシュタイン多様体上の特殊ラグランジュ円錐の無限小変形空間の構造は何か？
• RQ5 トーリック・カラビ–ヤウの円錐上に存在する特殊ラグランジュ円錐の空間は、リンク多様体上のラプラシアンの固有値にどのように関係するか？

主な発見

• この論文は、リーマンの円錐多様体上に存在するタイプ I_c 特異点を示す平均曲率流れに対して、放物型スケーリングの部分列が自己相似解に収束することを確立した。
• 極限解は $H = \lambda \vec{F}^\perp$ を満たし、ユークリッド空間から円錐へ自己相似条件を一般化した。
• 特殊ラグランジュ円錐の無限小変形空間は、$\mathrm{Ker}(\Delta_\Sigma - 2n)$ に同型である。ここで $\Sigma$ は円錐のリンクである。
• 特殊ラグランジュ円錐は、ラグランジュ角が定数であり、関連する1次形式 $\beta$ が $d\beta = d*\beta = 0$ を満たす場合に限り生じる。これにより $\Delta_\Sigma \varphi = 2n\varphi$ が得られる。
• リーブベクトル場 $\xi$ は特殊ラグランジュ変形を生成しない。なぜなら $\hat{\omega}(\xi) = -r\,dr$ は $d*\beta = 0$ を満たさないからであり、これによりこのような変形が特殊ラグランジュでないことが確認される。
• リーマンの円錐多様体上での自己相似解の構成は、$\Delta_\Sigma \varphi = 2n\varphi$ のスペクトル条件により達成され、幾何学とリンク上の解析とを結びつける。