[論文レビュー] Semi-group structure of all endomorphisms of a projective variety admitting a polarized endomorphism

Sheng Meng, De‐Qi Zhang|arXiv (Cornell University)|Jun 15, 2018

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 21被引用数 11

ひとこと要約

本稿では、極形式的またはint-拡大型の自己準同型をもつ射影的多様体が、有限個の収縮可能 extremal レイをもち、その全自己準同型モノイドの有限インデックス部分モノイドの作用のもとで等変な最小モデルプログラム（MMP）を有することを確立する。主な結果には、Néron-Severi 群上の自己準同型作用の対角化、自己同型群の成分の有限性、および有理的連結な場合における拡大型と int-拡大型自己準同型の同値性が含まれる。

ABSTRACT

Let $X$ be a projective variety admitting a polarized (or more generally, int-amplified) endomorphism. We show: there are only finitely many contractible extremal rays; and when $X$ is $\mathbb{Q}$-factorial normal, every minimal model program is equivariant relative to the monoid $SEnd(X)$ of all surjective endomorphisms, up to finite index. Further, when $X$ is rationally connected and smooth, we show: there is a finite-index submonoid $G$ of $SEnd(X)$ such that $G$ acts via pullback as diagonal (and hence commutative) matrices on the Neron-Severi group; the full automorphisms group $Aut(X)$ has finitely many connected components; and every amplified endomorphism is int-amplified.

研究の動機と目的

• 極形式的または int-拡大型の自己準同型をもつ射影的多様体の自己準同型モノイドの構造を理解すること。
• このような多様体が、K_X が Q-カルティエでない場合でも、有限個の収縮可能 extremal レイしか持たないことを証明すること。
• 任意の有限な最小モデルプログラム（MMP）の列が、全自己準同型モノイドの有限インデックス部分モノイドの作用に関して等変であることを確立すること。
• 有理的連結で滑らかな多様体の場合に、自己同型群が有限個の連結成分を持ち、すべての拡大型自己準同型が int-拡大型であることを示すこと。
• 有限インデックス部分モノイドが Néron-Severi 群に作用するとき、その作用が対角化可能で可換であることを示すこと。

提案手法

• 極形式的または int-拡大型自己準同型の存在を用いて、閉じた有効1次元サイクル錐内の extremal レイの力学を制御する。
• 対数正則なペアの錐定理とフリップの存在を応用し、extremal な射影の構造を分析する。
• MMP における各段階での自己準同型の降下を保証するため、SEnd(X) の有限インデックス部分モノイド G を構成し、それが等変に作用することを保証する。
• Q-アーベル多様体 Y 上の相対的 MMP を用い、アーベル多様体 A からの有限準エタールなガロア被覆を用いる。
• 固有値の議論と表現論を用いて、Néron-Severi 群への引き戻し作用を分析し、対角化を示す。
• 自己同型の場合、あるべきが NS_Q(X) 上で自明に作用することを用い、Aut(X)/Aut_0(X) の成分群の有限性を導く。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 極形式的または int-拡大型の自己準同型をもつ射影的多様体は、K_X が Q-カルティエでない場合でも、有限個の収縮可能 extremal レイしか持たないか？
• RQ2 全最小モデルプログラム（MMP）は、自己準同型モノイド SEnd(X) の作用に関して、有限インデックスまでで等変にできるか？
• RQ3 SEnd(X) の有限インデックス部分モノイドが Néron-Severi 群に作用するとき、その作用は対角化可能で可換か？
• RQ4 有理的連結で滑らかな場合、すべての拡大型自己準同型は必然的に int-拡大型か？
• RQ5 このような多様体の自己同型群は有限個の連結成分を持つか？

主な発見

• 極形式的または int-拡大型の自己準同型をもつ射影的多様体は、K_X が負でないかどうかにかかわらず、有限個の収縮可能 extremal レイしか持たない。
• Q-因子的で正規な多様体の場合、任意の有限な MMP の列は、SEnd(X) の有限インデックス部分モノイド G に関して等変である。
• 有理的連結で滑らかな場合、SEnd(X) の有限インデックス部分モノイド G が存在し、任意の g ∈ G が NS_Q(X) 上で対角行列（対角成分が正の整数）として作用する。
• 自己同型群 Aut(X) は有限個の連結成分を持ち、Aut_0(X) は線型代数的群である。
• 有理的連結で滑らかな射影的多様体で、int-拡大型自己準同型をもつ場合、すべての拡大型自己準同型は必然的に int-拡大型である。
• 任意の h ∈ SEnd(X) に対して、h^M による NS_C(X) 上の作用は対角化可能であり、(h^M)^* = (g_1^*)^{-1} ∘ g_2^* を満たす g_1, g_2 ∈ G ∩ IAmp(X) が存在する。