[論文レビュー] Semi-infinite Schubert varieties and quantum K-theory of flag manifolds

Alexander Braverman, Michael Finkelberg|arXiv (Cornell University)|Nov 9, 2011

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 14被引用数 18

ひとこと要約

本論文は、旗多様体へのベース付きクェイジマップを介してモデル化された半無限のシューベルト多様体の正規性、ゴレンシュタイン性、および有理的特異点を確立し、その等化的特徴関数が量子差分Toda方程式のフェルミオン的公式を満たすことを証明することで、単純根系をもつリ代数に対するラングランズ双対量子群を通じた旗多様体の量子K理論に関する予想を裏付ける。

ABSTRACT

Let g be a semi-simple Lie algebra. In this paper we study the spaces of based quasi-maps from the projective line P^1 to the flag variety of g (it is well-known that their singularities are supposed to model the singularities of the so called semi-infinite Schubert varieties which are hard to define directly). In the first part of the paper we show that the above spaces are normal and in the case when g is simply laced they are also Gorenstein and have rational singularities. In the second part of the paper we compute the character of the ring of functions on the above spaces; in view of the above results this computation can be thought of as a computation of the (equivariant) K-theoretic J-function of the flag variety of g. We show that when g is simply laced the above characters satisfy the "fermionic recursion" version of the difference quantum Toda lattice (due to B.Feigin, E.Feigin, M.Jimbo, T.Miwa and E.Mukhin). As a byproduct we show that the equivariant K-theoretic J-function of the flag variety of a simply laced Lie algebra g is the universal eigen-function of the difference quantum Toda lattice, thus proving a conjecture of Givental and Lee. Some modification of this result is also shown to hold for non-simply laced g. We also discuss an extension of the above results to the case when g is an affine Lie algebra (this extension is conjectural except when g=sl(N)).

研究の動機と目的

• ベース付きクェイジマップ空間の幾何的性質を、半無限のシューベルト多様体をモデル化することで研究すること。
• これらの空間が正規であり、リ代数が単純根系である場合にはゴレンシュタイン的で有理的特異点を持つことを確立すること。
• これらの空間の座標環の特徴関数を計算し、それらを量子K理論の不変量と関連付けること。
• 量子K理論の旗多様体への関係をフェルミオン的公式を通じてラングランズ双対量子群に結びつける予想を検証すること。
• 特定の仮定の下で、これらの結果をアフィンリ代数の場合に拡張すること。

提案手法

• ベース付きクェイジマップの次数 $ \beta $ をパラメータとするアフィンスキーム $ Z^\beta_{\frak{g}} $ を定義する。
• 分割 $ \bigsqcup_{0 \to \beta \to \beta} \frak{M}^{\beta}_{\frak{g}} \times \operatorname{Sym}^{\alpha - \beta}(\bb{C} - \infty) $ を用いて $ Z^\beta_{\frak{g}} $ の幾何を解析する。
• 次数 $ (\beta,1) $ かつベース付き条件を満たす $ \frak{B}_{\frak{g}} \times \bb{P}^1 $ への安定写像のコンツェビッチモジュライ空間 $ M^{\beta}_{\frak{g}} $ を用いて特異点の解消を構成する。
• $ \mathcal{O}_{M^{\beta}_{\frak{g}}} $ の $ T \times \bb{C}^* $-等化的押し出しを計算し、生成関数 $ \mathfrak{J}_{\beta}(z,q) $ を得る。
• 再帰式 $ \mathcal{J}_{\alpha} = \sum_{0 \leq \beta \leq \alpha} \frac{q^{(\beta,\beta)/2} z^{\beta^*}}{(q)_{\alpha - \beta}} \mathcal{J}_{\beta} $ を用いて、$ \mathfrak{J}_{\beta} $ が量子差分Toda方程式のフェルミオン的公式を満たすことを証明する。
• 非単純根系の $ \frak{g} $ に対して、単純根系の被覆 $ \frak{g}' $ のクェイジマップ空間における $ \sigma $-不変部分集合を用いてスキーム $ \widehat{Z}^{\bar{\alpha}}_{\frak{g}} $ を構成し、$ \mathcal{J}_{\bar{\alpha}} = \mathbb{C}[\widehat{Z}^{\bar{\alpha}}_{\frak{g}}] $ を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 旗多様体へのベース付きクェイジマップ空間 $ Z^\alpha_{\frak{g}} $ は正規的であり、有理的特異点を持つだろうか？
• RQ2 座標環 $ \mathbb{C}[Z^\alpha_{\frak{g}}] $ の特徴関数は、量子差分Toda方程式のフェルミオン的公式を満たすだろうか？
• RQ3 旗多様体の量子K理論はラングランズ双対量子群 $ U_q(\check{\frak{g}}) $ を通じて記述可能だろうか？この性質は非単純根系の $ \frak{g} $ に対しても成り立つだろうか？
• RQ4 クェイジマップの幾何は、量子群の表現理論およびホイットッカー関数とどのように関係するだろうか？
• RQ5 $ \mathcal{J}_\alpha $ の生成関数は、$ T \times \bb{C}^* $-等化的コホモロジーまたはK理論の観点からどのように幾何的に実現されるだろうか？

主な発見

• すべての半単純リ代数 $ \frak{g} $ およびすべての $ \alpha \in \Lambda_+ $ に対して、空間 $ Z^\alpha_{\frak{g}} $ および $ \mathcal{QM}^\alpha_{\frak{g}} $ は正規的である。
• リ代数 $ \frak{g} $ が単純根系であるとき、$ Z^\alpha_{\frak{g}} $ はゴレンシュタイン的であり、有理的特異点を持つ。これは、それがコーエン＝マカウレー的であることを示唆する。
• $ \mathbb{C}[Z^\alpha_{\frak{g}}] $ の $ T \times \bb{C}^* $-等化的特徴関数の生成関数 $ \mathfrak{J}_\alpha(z,q) $ は、量子差分Toda方程式のフェルミオン的公式を満たす。
• 単純根系の $ \frak{g} $ に対して、特徴関数 $ \mathbb{C}[Z^\alpha_{\frak{g}}] $ は $ \mathfrak{J}_\alpha $ に等しくなる。これは、ラングランズ双対量子群を通じた旗多様体の量子K理論に関する予想を確認する。
• 非単純根系の $ \frak{g} $ に対して、特徴関数 $ \mathbb{C}[Z^\alpha_{\frak{g}}] $ は $ \mathfrak{J}_\alpha $ とは異なるため、予想の修正が必要であり、折りたたみリ代数 $ \frak{g}' $ と $ \sigma $-不変部分集合を含む必要がある。
• $ \widehat{Z}^{\bar{\alpha}}_{\frak{g}} $ は、$ Z^{a(\bar{\alpha})}_{{\frak{g}}'} $ 内の $ \sigma $-固定点の閉包として構成され、$ \mathcal{J}_{\bar{\alpha}} $ をその $ T \times \bb{C}^* $-等化的特徴関数として実現する。