[論文レビュー] Semi-modules and irreducible components of affine Deligne-Lusztig varieties

Sian Nie|arXiv (Cornell University)|Feb 13, 2018

Advanced Algebra and Geometry参考文献 12被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、一般線型群のWeil係数の拡張に対して、半モジュールを用いてアフィンデュドゥル・ルスツジエ Varieties の分類を確立し、Chen と Zhu の予想を証明する。その予想とは、不変成分の $\pi_1$-軌道の数が、双対表現における重み空間の次元に一致することである。この分類は、ホッジ型 $\mu$ の半モジュールによってパrameter化され、不変成分が $\mathbb{J}_\gamma$-作用に関して互いに共役であることが示され、その個数は $V_\mu^{\hat{G}}(\lambda_G(\gamma))$ の次元と一致する。これは、$p$-進群とシムーラ多様体の文脈において、幾何的構造と表現論の深い関係を裏付けるものである。

ABSTRACT

Let $G$ be the Weil restriction of a general linear group. By extending the method of semi-modules developed by de Jong, Oort, Viehmann and Hamacher, we obtain a stratification of the affine Deligne-Lusztig varieties for $G$ (in the affine Grassmannian) attached to a minuscule coweight and a basic element. As an application, we verify a conjecture by Chen and Zhu on irreducible components of affine Deligne-Lusztig varieties for $G$.

研究の動機と目的

• G = \mathrm{Res}_{\mathbb{F}_{q^d}/\mathbb{F}_q}\mathrm{GL}_n に対して、アフィンデュドゥル・ルスツジエ多様体 $X_\mu^G(\gamma)$ の幾何的構造、特にその不変成分を理解すること。
• de Jong, Oort, Viehmann, Hamacher の半モジュール法を、基本的 $\gamma$ および最小単位 $\mu$ の場合に拡張し、$X_\mu^G(\gamma)$ の分類を与えること。
• Chen と Zhu が提起した予想を検証すること。その予想とは、$\mathbb{J}_\gamma$-軌道の数が、双対表現 $V_\mu^{\hat{G}}(\lambda_G(\gamma))$ の重み空間の次元に一致することである。
• Mirković-Vilonen サイクルを用いて、$\mathbb{J}_\gamma$-不変成分の軌道と $V_\mu^{\hat{G}}(\lambda_G(\gamma))$ の基底との間の自然な全単射を確立すること。

提案手法

• 本稿は、拡張された半モジュール枠組み（または「拡張 EL チャート」）を用い、$G = \mathrm{Res}_{\mathbb{F}_{q^d}/\mathbb{F}_q}\mathrm{GL}_n$ に対して、$\mu$ を最小単位、$\gamma$ を基本的と仮定し、$X_\mu^G(\gamma)$ を分類する。
• $A$ をホッジ型 $\mu$ の半モジュールの範囲で走らせるとき、$X_\mu^G(\gamma) = \sqcup_A \mathcal{L}(A)$ という分解を定義し、各 $\mathcal{L}(A)$ はアフィン空間上の局所閉、有限、かつ滑らかな部分集合である。
• $\mathbb{J}_\gamma$ による $X_\mu^G(\gamma)$ 上の作用は、$\mathcal{L}(A)$ から $\mathcal{L}({}^\gamma A)$ への射影 $\beta_\gamma: \mathcal{L}(A) \to \mathcal{L}({}^\gamma A)$ を通じて解析され、これはレヴィ部分群の多様体の成分へと写像する。
• 証明では、半モジュールの剛性と Iwahori 分解の構造を用い、$\mathcal{L}(A)$ の不変成分の $\mathbb{J}_\gamma$-共役性が、それに対応する半モジュールの同値性を示すことを示している。
• Hamacher と Viehmann の超基本的ケースに関する結果を用い、放物型誘導と $\sigma$-固定のワイル群要素による共役を用いてそれらを拡張する。
• 最終的な $\mathbb{J}_\gamma$-軌道の個数は、表現論的双対性と $\lambda_G(\gamma)$ が $\sigma$-固定共役のもとで保存されることを用いて、$\dim V_\mu^{\hat{G}}(\lambda_G(\gamma))$ と一致することが示される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 基本的 $\gamma$ および最小単位 $\mu$ の場合に、半モジュール分類が Weil-制限 $\mathrm{GL}_n$ に拡張可能か？
• RQ2 Chen と Zhu の予想、すなわち $\mathbb{J}_\gamma$-不変成分の軌道の数と $V_\mu^{\hat{G}}(\lambda_G(\gamma))$ の重み空間の次元との対応関係が、この設定で検証可能か？
• RQ3 $\mathcal{L}(A)$ の不変成分は $\mathbb{J}_\gamma \cap N(L)$-作用に関して互いに共役か？ また、この性質は $\mathcal{L}({}^\gamma A)$ の構造とどのように関係するか？
• RQ4 $\mathbb{J}_\gamma$-作用が、Mirković-Vilonen サイクルを通じて、重み空間 $V_\mu^{\hat{G}}(\lambda_G(\gamma))$ とどのように関係するか？
• RQ5 $\mathcal{L}(A)$ の次元と、関連するレヴィ部分群の多様体 $X_{\lambda_A}^M(\gamma)$ の次元との正確な関係は何か？

主な発見

• アフィンデュドゥル・ルスツジエ多様体 $X_\mu^G(\gamma)$ は、$A$ をホッジ型 $\mu$ の半モジュールの範囲で走らせるとき、$X_\mu^G(\gamma) = \sqcup_A \mathcal{L}(A)$ という分類を持つ。各 $\mathcal{L}(A)$ はアフィン空間上の有限、滑らかで、局所閉な部分集合である。
• $\mathcal{L}(A)$ の不変成分は、すべて $\mathbb{J}_\gamma$-共役である。これは、全射射影 $\beta_\gamma: \mathcal{L}(A) \to \mathcal{L}({}^\gamma A)$ と $\mathcal{L}({}^\gamma A)$ の既約性を用いて示される。
• 二つの半モジュール $A$ と $A'$ が $\mathbb{J}_\gamma \cdot \mathrm{Irr}\mathcal{L}(A) = \mathbb{J}_\gamma \cdot \mathrm{Irr}\mathcal{L}(A')$ を満たすならば、$A \sim A'$ であり、これは $\mathbb{J}_\gamma$-作用に関して同値であることを意味する。
• $\mathbb{J}_\gamma \backslash \mathrm{Irr}X_\mu^G(\gamma) \overset{\sim}{\to} \tilde{\mathcal{R}}_{\mu}^{\mathrm{top}}(G)$ という自然な全単射が存在し、不変成分の軌道とトップ半モジュールとの間の対応を確立する。
• $\mathbb{J}_\gamma$-不変成分の軌道の数は、正確に $\dim V_\mu^{\hat{G}}(\lambda_G(\gamma))$ に一致し、Chen-Zhu 予想が検証された。
• 最終的な個数は $\sigma$-固定ワイル群共役に関して保存され、関連する放物型部分群 $H$ に対して $\dim V_\mu^{\hat{G}}(\lambda_G(\gamma)) = \dim V_\mu^{\hat{H}}(\lambda_H(\gamma))$ が成り立つ。