[論文レビュー] Semi-parametric estimation of the variogram of a Gaussian process with stationary increments

Jean‐Marc Azäis, François Bachoc+2 more|arXiv (Cornell University)|Jun 8, 2018

Point processes and geometric inequalities参考文献 50被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、1次元のガウス過程におけるステーショナリィ・インクリメントを有する変動関数のスケールパラメータ $ C $ のための半パラメトリック推定量を、2次変動とモーメント法を用いて提案する。この手法は漸近正規性を達成し、小規模から中規模の標本サイズでも高い有限標本性能を示す。異なる変動系列に基づく推定量の集合化により、推定の効率性が向上する。

ABSTRACT

We consider the semi-parametric estimation of a scale parameter of a one-dimensional Gaussian process with known smoothness. We suggest an estimator based on quadratic variations and on the moment method. We provide asymptotic approximations of the mean and variance of this estimator, together with asymptotic normality results, for a large class of Gaussian processes. We allow for general mean functions and study the aggregation of several estimators based on various variation sequences. In extensive simulation studies, we show that the asymptotic results accurately depict thefinite-sample situations already for small to moderate sample sizes. We also compare various variation sequences and highlight the efficiency of the aggregation procedure.

研究の動機と目的

• 変動関数のパラメトリックな形を仮定しない、ステーショナリィ・インクリメントを有するガウス過程におけるスケールパラメータ $ C $ のための半パラメトリック推定量の構築。
• 一般条件の下で推定量の平均および分散の正確な近似を導出し、漸近正規性を確立すること。
• 異なる2次変動系列から得られる複数の推定量を集合化することで、推定の効率性を向上させること。
• 広範なシミュレーションを通じて理論的結果の妥当性を検証し、小規模から中規模の標本サイズでも高い精度を示すことを示すこと。
• 高次元設定へのフレームワークの拡張を行い、一般の平均関数および滑らかさ条件の下でのロバストネスを評価すること。

提案手法

• 推定量は、より細かい分割におけるプロセスの2次変動を用い、スケールパラメータ $ C $ の推定にモーメント法を適用することで構築される。
• 推定量の漸近分布は、増分の共分散行列の固有値分解に基づく、重み付きカイ二乗分布の和としての表現を用いて導出される。
• リンドバーグ条件を適用することで、変動関数展開における剰余項の正則性条件のもとで漸近正規性を証明する。
• 推定量の集合化は、複数の変動系列からの結果を組み合わせることで行われ、漸近分散を最小化するように重みが選ばれる。
• 理論的結果は、多項式でない平均関数を有するシナリオや、さまざまな滑らかさパラメータを想定したシミュレーションスタディにより検証される。
• 本手法は高次元へと拡張可能であり、そのような設定における推定量の漸近的挙動について理論的裏付けが与えられる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 変動関数のパラメトリックな形を仮定しないで、スケールパラメータ $ C $ のための半パラメトリック推定量を構築することは可能か？
• RQ2 2次変動に基づく推定量の漸近バイアスおよび漸近分散は何か？ また、漸近正規性を達成するか？
• RQ3 異なる変動系列に基づく推定量の集合化は、推定の効率性をどのように向上させるか？
• RQ4 有限標本において、漸近近似がどの程度有効に機能するか、特に小規模から中規模の標本サイズにおいては？
• RQ5 一般の平均関数が存在する場合、推定量の性能にどのような影響を与えるか？ また、このような状況においてもロバストに適用可能か？

主な発見

• 2次変動とモーメント法を用いた提案手法は、変動関数展開における剰余項にやや弱い正則性条件が課せられる限り、漸近正規性を達成する。
• 推定量の漸近バイアスおよび漸近分散は明示的に導出され、シミュレーションスタディにおいて小規模から中規模の標本サイズでも高い正確性を示した。
• 複数の変動系列からの推定量の集合化により、分散が顕著に低減され、個々の系列に比べて推定の効率性が著しく向上した。
• 平均関数が一般の形であっても、推定量はロバストである。漸近正規性の結果は、平均関数が2次変動構造に干渉しない限り成立する。
• 理論的近似による推定量の分布は、シミュレーションにおける実測分布とよく一致しており、漸近的結果の妥当性が裏付けられた。
• 本手法は高次元へと拡張可能であり、そのような設定における推定量の漸近的挙動について理論的裏付けが与えられた。