[論文レビュー] Semi-Perfect Obstruction theory and DT Invariants of Derived Objects

Huai-Liang Chang, Jun Li|arXiv (Cornell University)|May 17, 2011

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 16被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、デリーニ＝ムーディー・スタックに対して半完璧な障害理論を導入し、障害層へのギュジン引き戻しを用いた仮想サイクルの構成を可能にする。この枠組みをカルラヤ・3次元多様体上の導来対象のモジュライ空間に適用し、内在的正規コーンを障害層に埋め込み、バンドルスタック上の交線論を用いてドナルドソン＝トーマス不変量の変形不変性を証明する。

ABSTRACT

We introduce semi-perfect obstruction theory of a Deligne-Mumford stack $X$ consisting of local perfect obstruction theories with weak comparisons on overlaps. We show that semi-perfect obstruction theory shares similar properties with perfect obstruction theory. We use semi-perfect obstruction theory to construct virtual cycles of moduli of derived objects on Calabi-Yau threefolds. In the revision, we assume the existence of obstruction sheaf and put the (coarse moduli of the) intrinsic normal cone inside the obstruction sheaf. This avoids the issue of descent of bundle stacks of the local obstruction complexes.

研究の動機と目的

• 普遍族を持たないモジュライスタック（例えば導来対象のモジュライ）のための新しい障害理論フレームワークの構築。
• 局所的完璧な障害理論（[BF] におけるもの）とグローバルな障害層構造（[LT] におけるもの）を統合し、柔軟な仮想サイクル構成を可能にする。
• カルラヤ3次元多様体上の導来対象のモジュライに対して、内在的正規コーンを障害層に埋め込むことで仮想サイクルを構成する。
• ギュジン引き戻しとサイクルの貼り合わせを用いて、このようなモジュライ空間におけるドナルドソン＝トーマス不変量の変形不変性を証明する。
• グローバルなベクトルバンドルが存在しない状況において、ベーリング＝ファンテッキとクレシュ風の仮想サイクル構成を一般化する。

提案手法

• 局所的完璧な障害理論 $\phi_\alpha: E_\alpha \to \mathbb{L}_{U_\alpha/{\cal M}}^{\bullet\geq-1}$ の集合として半完璧な相対障害理論を定義し、それらが一貫した障害層 $\mathcal{O}b_{\phi_\alpha} = H^1(E_\alpha^\vee)$ を持ち、それが $X$ 上にグローバルに降下することを要請する。
• 局所的コーン $\mathcal{C}_{U_\alpha/{\cal M}} \subset h^1/h^0((\mathbb{L}_{U_\alpha/{\cal M}})^\vee)$ の貼り合わせを用いて、層スタック $\mathcal{O}b_\phi$ 内のサイクル $[\mathfrak{c}_{X/{\cal M}}]$ として内在的正規コーン $\mathfrak{c}_{X/{\cal M}}$ を構成する。
• グローバルなサイクル $[\mathfrak{c}_{X/{\cal M}}]$ を、$\mathcal{O}b_\phi$ のゼロ切断 $s$ を通じたギュジン引き戻し $s^!$ として仮想サイクル $[X,\phi]^{\mathrm{vir}}$ を定義する。
• カルラヤ3次元多様体上の導来対象のモジュライに半完璧な障害理論が存在すること（[HT] および [Lie] より）を用い、この構成を適用し、DT不変量を定義する。
• 障害データの整合性を用いてギュジン写像を適用し、$i_b^! [X]^{\mathrm{vir}} = [X_b]^{\mathrm{vir}}$ を示すことにより、任意の閉点 $b \in B$ に対して $[X]^{\mathrm{vir}}$ が変形不変であることを証明する。
• 局所的障害理論が $X$ 上のグローバルな完璧複体 $E$ から来ている場合、仮想サイクルは $h^1/h^0(E^\vee)$ に持ち上げられ、直接的な交線論的計算が $\tilde{s}^!$ を用いて可能になる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 普遍族を持たないが障害層を持つ導来対象のモジュライスタックに対して、仮想サイクルを構成することは可能か？
• RQ2 内在的正規コーンを、ギュジン引き戻しを可能にするように、グローバルに障害層に埋め込む方法は何か？
• RQ3 障害層への埋め込みを経た仮想サイクル構成は、変形不変なドナルドソン＝トーマス不変量をもたらすか？
• RQ4 局所的完璧な障害理論が、一貫した障害割り当てを持つグローバルな半完璧な障害理論に貼り合わされるための条件は何か？
• RQ5 グローバルなベクトルバンドルが存在しない状況において、障害層上のギュジン写像が、標準的な仮想サイクルを回復できるか？

主な発見

• 各エタールチャート $U_\alpha$ からの内在的正規コーン $\mathcal{C}_{U_\alpha/{\cal M}}$ は、層スタック $\mathcal{O}b_\phi$ 内のグローバルなサイクル $[\mathfrak{c}_{X/{\cal M}}]$ に貼り合わされ、グローバルな仮想サイクル構成が可能になる。
• 仮想サイクル $[X,\phi]^{\mathrm{vir}} = s^! [\mathfrak{c}_{X/{\cal M}}]$ は適切に定義されており、仮想クラスの標準的性質を満たす。
• カルラヤ3次元多様体上の導来対象のモジュライに対して、半完璧な障害理論が存在し、その仮想サイクルの次数はドナルドソン＝トーマス不変量に一致する。
• 仮想サイクルは変形不変である：任意の閉点 $b \in B$ に対して、ギュジン引き戻し $i_b^! [X]^{\mathrm{vir}}$ は、ファイバーの仮想サイクル $[X_b]^{\mathrm{vir}}$ に一致する。
• 局所的障害理論がグローバルな完璧複体 $E$ から来ている場合、仮想サイクルは $h^1/h^0(E^\vee)$ に持ち上げられ、$\tilde{s}^!$ を用いた直接的な交線論的計算が可能になる。
• 半完璧な障害理論は、[BF] の局所的アプローチと [LT] のグローバルなクレシュ風構成を統合し、仮想サイクル理論のための柔軟なフレームワークを提供する。