[論文レビュー] Polarized endomorphisms of normal projective threefolds in arbitrary characteristic

Sheng Meng, De‐Qi Zhang|arXiv (Cornell University)|Oct 5, 2017

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 26被引用数 10

ひとこと要約

本稿は任意の特徴標数における正規・プロジェクトーブな3次元多様体上の偏極化された自己準同型について研究し、分離的 $ q $-偏極化自己準同型の下で、反 canonical 除援は有効な $ \mathbb{Q} $-カーティエ除援と数的に同値であることを示している。特定の条件下で $ f $-不変な最小モデルプログラム（MMP）の実行可能性を確立し、有理的連結3次元多様体において、N\'eron-Severi群の torsion を除いた部分群へのスカラー作用を証明している。

ABSTRACT

Let $X$ be a projective variety over an algebraically closed field $k$ of arbitrary characteristic $p \ge 0$. A surjective endomorphism $f$ of $X$ is $q$-polarized if $f^\ast H \sim qH$ for some ample Cartier divisor $H$ and integer $q > 1$. Suppose $f$ is separable and $X$ is $\mathbb{Q}$-Gorenstein and normal. We show that the anti-canonical divisor $-K_X$ is numerically equivalent to an effective $\mathbb{Q}$-Cartier divisor, strengthening slightly the conclusion of Boucksom, de Fernex and Favre (Theorem C) and also covering singular varieties over an algebraically closed field of arbitrary characteristic. Suppose $f$ is separable and $X$ is normal. We show that the Albanese morphism of $X$ is an algebraic fibre space and $f$ induces polarized endomorphisms on the Albanese and also the Picard variety of $X$, and $K_X$ being pseudo-effective and $\mathbb{Q}$-Cartier means being a torsion $\mathbb{Q}$-divisor. Let $f^{Gal}:\overline{X} o X$ be the Galois closure of $f$. We show that if $p>5$ and co-prime to $deg\, f^{Gal}$ then one can run the minimal model program (MMP) $f$-equivariantly, after replacing $f$ by a positive power, for a mildly singular threefold $X$ and reach a variety $Y$ with torsion canonical divisor (and also with $Y$ being a quasi-etale quotient of an abelian variety when $\dim(Y)\le 2$). Along the way, we show that a power of $f$ acts as a scalar multiplication on the Neron-Severi group of $X$ (modulo torsion) when $X$ is a smooth and rationally chain connected projective variety of dimension at most three.

研究の動機と目的

• 任意の特徴標数における正規・$ \mathbb{Q} $-Gorensteinなプロジェクトーブ3次元多様体への偏極化自己準同型に関する結果の一般化。
• 分離的 $ q $-偏極化自己準同型の下で、$ -K_X $ が有効な $ \mathbb{Q} $-カーティエ除援と数的に同値であることを確立すること。
• アーベリアン写像が代数的ファイバー空間であることを示し、$ f $ がアーベリアンおよびピックール多様体上に偏極化自己準同型を誘導することを示すこと。
• $ K_X $ が擬効的かつ $ \mathbb{Q} $-カーティエであるならば、それは torsion $ \mathbb{Q} $-除援であることを証明すること。
• $ p > 5 $ および $ p \nmid \deg f^{Gal} $ の下で、やや特異な3次元多様体に対して $ f $-不変な MMP を可能とし、canonical 除援が torsion である多様体に到達すること。

提案手法

• アーベリアン $ H $ に対して $ f^*H \sim qH $ を満たす $ q $-偏極化自己準同型を用い、除援への動的制御を保証する。
• $ f $ のガロア閉包 $ f^{Gal} $ を用いて、分離性および分岐の条件を分析する。
• MMP の過程における $ f $-不変性を保証するため、$ f $ を正のべきに置き換える。
• 有理的連結3次元多様体における $ f^k $ の N\'eron-Severi群の torsion を除いた部分群へのスカラー作用を示すために、N\'eron-Severi群を torsion を除いて用いる。
• 特徴標数に依存する仮定を活用して、$ f $-不変に動作する最小モデルプログラム（MMP）を適応する。
• アーベリアン写像の構造と $ f $ との整合性を活用し、グローバルな幾何的制約を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 分離的 $ q $-偏極化自己準同型 $ f $ の下で、反 canonical 除援 $ -K_X $ が有効な $ \mathbb{Q} $-カーティエ除援と数的に同値となる条件は何か？
• RQ2 分離的 $ q $-偏極化自己準同型 $ f $ の下で、$ X $ のアーベリアン写像はどのように振る舞うか？
• RQ3 このような自己準同型の下で、$ K_X $ が擬効的かつ $ \mathbb{Q} $-カーティエである場合、canonical 除援 $ K_X $ の構造は何か？
• RQ4 $ p > 5 $ および $ p \nmid \deg f^{Gal} $ の下で、正標数における3次元多様体に対して $ f $-不変な最小モデルプログラム（MMP）を実行可能か？
• RQ5 有理的連結な滑らか3次元多様体において、$ f $ が N\'eron-Severi群の torsion を除いた部分群への作用はどのように振る舞うか？

主な発見

• 分離的 $ q $-偏極化自己準同型の下で、$ \mathbb{Q} $-Gorensteinな正規3次元多様体上では、反 canonical 除援 $ -K_X $ は有効な $ \mathbb{Q} $-カーティエ除援と数的に同値である。
• 多様体 $ X $ のアーベリアン写像は代数的ファイバー空間であり、$ f $ はアーベリアン多様体およびピックール多様体上に偏極化自己準同型を誘導する。
• $ K_X $ が擬効的かつ $ \mathbb{Q} $-カーティエであるならば、$ K_X $ は torsion $ \mathbb{Q} $-除援である。
• $ p > 5 $ および $ p \nmid \deg f^{Gal} $ の下で、$ f $ を正のべきに置き換えることにより、$ f $-不変な MMP を実行でき、canonical 除援が torsion である多様体 $ Y $ に到達する。
• 滑らかで有理的連結な3次元多様体において、$ f $ のあるべきは N\'eron-Severi群の torsion を除いた部分群上でスカラー乗法として作用する。
• $ \dim(Y) \leq 2 $ のとき、得られる多様体 $ Y $ はアーベリアン多様体の quasi-étale 商である。