[論文レビュー] Semicontinuity of the {\L}ojasiewicz exponent

Arkadiusz Płoski|arXiv (Cornell University)|Feb 23, 2011

Holomorphic and Operator Theory参考文献 4被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、有限な正則芽 $ f: (ℂ^n,0) \to (ℂ^n,0) $ に対する多重度一定変形の下で、Łojasiewicz指数 $ l_0(f) $ の下半連続性を確立する。関数の芽に対する特徴的多項式およびニュートン多角形の性質を用いて、$ t $ が 0 の近くにあるとき $ l_0(F_0) \leq l_0(F_t) $ を証明する。1パラメータの場合には等号が成り立つ。この結果は、Teissier の $ \mu $-一定変形に関する下半連続性を、より広い多重度一定変形のクラスへ一般化するものである。

ABSTRACT

We prove that the {\\L}ojasiewicz exponent $l_0(f)$ of a finite holomorphic germ $f:(C^n,0)\ o(C^n,0)$ is lower semicontinuous in any multiplicity-constant deformation of $f$.

研究の動機と目的

• 有限な正則芽に対する多重度一定変形の下で、Łojasiewicz 指数 $ l_0(f) $ の下半連続性を確立すること。
• Teissier の $ \mu $-一定変形に関する以前の結果を、より広い多重度一定変形のクラスへ一般化すること。
• 関数の芽に対する特徴的多項式およびニュートン多角形を用いて、Łojasiewicz 指数の振る舞いを分析すること。
• 変形された芽に対する関数のニュートン多角形が、元の芽のそれの包含関係にあること、すなわち下半連続性を反映することを示すこと。

提案手法

• 解析的弧 $ \phi $ における $ l_0(f) = \sup_{\phi} \left\{ \frac{\mathrm{ord}(f \circ \phi)}{\mathrm{ord}(\phi)} \right\} $ として Łojasiewicz 指数を定義する。
• 関数 $ h $ の変形 $ F(t,z) $ に対する特徴的多項式 $ P_h(t,w,s) \in \mathbb{C}\{t,w\}[s] $ を適用し、芽の代数的構造を符号化する。
• 順序 $ o_{F_t}(h) = \inf_i \left\{ \frac{\mathrm{ord}(a_i(t,w))}{i} \right\} $ を定義し、これが $ t $ に関して下半連続であることを示す。
• 特徴的多項式のニュートン多角形 $ \mathcal{N}(F_t, h) $ を用いて Łojasiewicz 指数を分析し、最初の辺の傾きが $ 1/o_{F_t}(h) $ を与える。
• $ t $ が 0 の近くにあるとき $ \mathcal{N}(F_t, h) \subset \mathcal{N}(F_0, h) $ を証明し、順序の下半連続性、したがって Łojasiewicz 指数の下半連続性を示す。
• 1パラメータの場合に、$ t \neq 0 $ で $ o_{F_t}(h) $ が定数であることを確立し、したがって $ l_0(F_t) $ が定数であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限な正則芽の多重度一定変形の下で、Łojasiewicz 指数は下半連続か？
• RQ2 このような変形の下で、関数の芽に対するニュートン多角形はどのように振る舞うか？
• RQ3 関数の芽に対する変形の特徴的多項式を用いて、Łojasiewicz 指数の下半連続性を確立できるか？
• RQ4 1パラメータの場合、中心ファイバー以外で Łojasiewicz 指数が定数となるか？
• RQ5 変形された芽のニュートン多角形と元の芽のそれとの関係は何か？

主な発見

• 多重度一定変形の下で Łojasiewicz 指数 $ l_0(f) $ は下半連続である：$ t $ が 0 の近くにあるとき $ l_0(F_0) \leq l_0(F_t) $。
• 1パラメータの場合、$ t \neq 0 $ で $ l_0(F_t) $ は定数であり、中心ファイバー以外でジャンプが生じないことを示す。
• 関数 $ h $ の芽 $ F_t $ に対するニュートン多角形 $ \mathcal{N}(F_t, h) $ は、$ t $ が 0 の近くにあるとき $ \mathcal{N}(F_0, h) $ に含まれる。
• Łojasiewicz 指数を決定づける順序 $ o_{F_t}(h) $ は $ t $ に関して下半連続であり、$ o_{F_t}(h) \leq o_{F_0}(h) $ が成り立つ。
• Łojasiewicz 指数 $ l_0(f) $ は $ l_0(f) \leq \mathrm{m}_0(f) $ を満たし、等号が成り立つのは原点でヤコビアンのランクが少なくとも $ n-1 $ であるときである。
• ニュートン多角形 $ \mathcal{N}(f,h) $ は Teissier の $ \mathcal{N}_{\mathrm{I}(f)}(h) $ と一致し、混合多重度に関する既存の理論と結びつく。