[論文レビュー] Semigroup and Category-Theoretic Approaches to Partial Symmetry

Alistair R. Wallis|arXiv (Cornell University)|Jul 7, 2017

Advanced Operator Algebra Research参考文献 11被引用数 21

ひとこと要約

本稿は、逆半群とカテゴリ HNN 拡張を用いて部分的対称性を扱う圏論的枠組みを確立し、自己同型群作用からの左リース半群が半群 HNN 拡張と同型であることを示している。また、べき等元行列と加群を用いて、正交的完全な逆半群に対する K-理論関手を構成し、クンツ＝クリーガー半群の K-群とその関連 C*-代数の K₀-群との同型を証明している。

ABSTRACT

This thesis is about trying to understand various aspects of partial symmetry using ideas from semigroup and category theory. In Chapter 2 it is shown that the left Rees monoids underlying self-similar group actions are precisely monoid HNN-extensions. In particular it is shown that every group HNN-extension arises from a self-similar group action. Examples of these monoids are constructed from fractals. These ideas are generalised in Chapter 3 to a correspondence between left Rees categories, self-similar groupoid actions and category HNN-extensions of groupoids, leading to a deeper relationship with Bass-Serre theory. In Chapter 4 of this thesis a functor $K$ between the category of orthogonally complete inverse semigroups and the category of abelian groups is constructed in two ways, one in terms of idempotent matrices and the other in terms of modules over inverse semigroups, and these are shown to be equivalent. It is found that the $K$-group of a Cuntz-Krieger semigroup of a directed graph $G$ is isomorphic to the operator $K^{0}$-group of the Cuntz-Krieger algebra of $G$ and the $K$-group of a Boolean algebra is isomorphic to the topological $K^{0}$-group of the corresponding Boolean space under Stone duality.

研究の動機と目的

• 半群および圏論を用いた部分的対称性を統一的に理解する枠組みを構築すること。
• 自己同型群族作用とカテゴリ HNN 拡張の間の対応関係を確立し、半群 HNN 拡張を一般化すること。
• 行列および加群的アプローチを併用して、正交的完全な逆半群に対する K-理論関手を構成すること。
• クンツ＝クリーガー半群の K-群がその関連 C*-代数の K₀-群と同型であることを証明すること。
• トレース関数を介して、逆半群の K-理論と准結晶物理学におけるギャップラベルリングの関係を探索すること。

提案手法

• 自由半群上の自己同型群作用から左リース半群を Zappa-Szép 積を用いて構成する。
• 半群 HNN 拡張を定義し、それが左リース半群と同型であることを証明する。例として、シエルピンスキーのギャスケットのようなフラクタルを用いる。
• 群族のカテゴリ HNN 拡張に一般化し、左リース圏を介して Bass-Serre 理論と関連付ける。
• べき等元行列を介しておよび逆半群上の加群を介して K-関手 K を構成し、両者の同値性を証明する。
• 有向グラフのクンツ＝クリーガー半群およびブール代数に K-関手を適用し、トポロジカルおよび作用素的 K₀-群と同型であることを示す。
• Scala を用いて自己同型作用を実装し、関連する左リース半群における積を計算する。例えば、シエルピンスキーのギャスケットにおいて (L, rsr) と (RTL, s) を入力すると、(LLTR, rsrs) を得る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 自己同型群作用は、半群論的構成を用いてどのように代数的に特徴付けられるか？
• RQ2 木上の群作用の文脈において、左リース半群と HNN 拡張の正確な関係は何か？
• RQ3 加群とべき等元行列の両方を用いて、逆半群に対する K-理論を同値に定義できるか？
• RQ4 クンツ＝クリーガー半群の K-群が、その関連 C*-代数の K₀-群とどれほど同型であるか？
• RQ5 逆半群上のトレース関数は、準結晶モデルにおけるギャップラベルリングを半群論的に定式化できるか？

主な発見

• 自己同型群作用から生じる左リース半群は、まさに半群 HNN 拡張であり、任意の群 HNN 拡張はこの方法で得られる。
• 有向グラフ G のクンツ＝クリーガー半群の K-群は、G のクンツ＝クリーガー C*-代数の K₀-群と同型である。
• ブール代数の K-群は、その対応するスチューン双対空間のトポロジカル K₀-群と同型である。
• K-関手の二つの構成法（べき等元行列と逆半群上の加群）は同値である。
• 正交的完全な逆半群上の加群の圏は、cocomplete かつ concrete であるため、表現論的解析が可能である。
• Scala 実装により、シエルピンスキーのギャスケットの類似性半群における積が正しく計算され、入力 (L, rsr) と (RTL, s) に対して (LLTR, rsrs) を得た。