[論文レビュー] Semigroups of valuations dominating local domains

Steven Dale Cutkosky|ArXiv.org|Jan 2, 2008

Advanced Algebra and Logic参考文献 11被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、正標数ノエター局所環を支配する値関数の値半群となるための、ℝ₊ の良い順序付けられた部分半群に対する新しい必要条件を導入する。著者らは、区間 [0, (d+1)s₀) 内の半群元の数が二項係数 C(n+d, n) で有界であることを示すことで、順序型 ω である ℚ₊ の良い順序付けられた部分半群の反例を構成した。この反例は、元の制約（良い順序付けとアブハヤンカー不等式）だけでは値半群を完全に特徴付けられないことを示しており、したがって、それらの制約は不十分であることを示している。

ABSTRACT

A new criterion is given for a semigroup to be the semigroup of a valuation dominating an equicharacteristic local domain. The criterion is used to construct examples of well ordered subsemigroups of the positive rational numbers which are of ordinal type omega, but are not the value semigroup of a valuation on an equicharacteristic noetherian local domain. This shows that the necessary conditions on value semigroups given in Appendix 3 to Zariski and Samuel's book ``Commutative Algebra'' are not sufficient.

研究の動機と目的

• 正標数ノエター局所環を支配する値関数の値半群に対する新しい必要制約を同定すること。
• 良い順序付けとアブハヤンカー不等式が、そのような半群を完全に特徴づけるかどうかという未解決問題に取り組むこと。
• 順序型 ω である ℚ₊ の良い順序付けられた部分半群の具体的な例を構成し、それがいかなる正標数ノエター局所環に対しても値半群として実現されないことを示すこと。
• 次元 1 および 2 の場合の値関数の半群に関する既知の結果を、高次元の正則局所環へと拡張すること。
• 特定の半群が値半群として実現可能でないことを示す基準を提供すること、すなわち、古典的制約を満たしていても、実現不可能である半群を除外できる基準を提供すること。

提案手法

• 任意の埋め込み次元 n の正標数局所環 A に対して、Sᴬ(ν) ∩ [0, (d+1)s₀) に含まれる元の数が、すべての d ∈ ℕ に対して二項係数 C(n+d, n) よりも厳密に小さいことを示す定理 2.1 を証明する。
• 局所環 A の mₐ-適応完備化 Â を用い、無限大値を持つ素イデアル Q に関する商環 Â/Q に誘導される値関数を分析する。
• R = k[[x₁,…,xₙ]] を形式的べき級数環とするとき、k-代数の上への全射ホモロジー写像 φ: R → Â/Q を構成し、値関数を R/P 上のランク 1 の値関数に関連付ける。
• 補題 1.2 を適用し、商環 R/P 上の値関数のもとで F_{d,n} の異なる値の数を有界化することで、主要な不等式を導出する。
• 値関数を多項式部分環 Aₙ = k[x₁,…,xₙ] に制限し、Aₙ 内のコーシー列が mₐ-位相で収束することを用いて、Aₙ 上の値と R 上の値を関連付ける。
• 補題 2.2 を用いて、結果を正則局所環に特化し、その値半群に対しても同様の有界性が成り立つことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 古典的制約（値半群の良い順序付けとアブハヤンカー不等式）が、正標数ノエター局所環を支配する値関数の値半群を完全に特徴づけることができるか。
• RQ2 良い順序付けされた ℚ₊ の部分半群で、順序型 ω であり、古典的制約を満たすが、いかなる正標数ノエター局所環に対しても値半群として実現されないものがあるか。
• RQ3 ℝ₊ の部分半群が、正則局所環を支配する値関数の値半群として実現可能であるためには、どのような新しい必要条件を満たさなければならないか。
• RQ4 連続する区間における半群生成元の数の増加率は、局所環の次元とどのように関係するか。
• RQ5 区間 [0, (d+1)s₀) 内の値の数に対する有界性 C(n+d, n) を用いて、半群の実現可能性に対する明示的な障害を構成できるか。

主な発見

• 本稿では、任意の埋め込み次元 n の正標数局所環 A に対して、区間 [0, (d+1)s₀) 内の値半群 Sᴬ(ν) の元の数が、すべての d ∈ ℕ に対して二項係数 C(n+d, n) よりも厳密に小さいことを証明している。
• 順序型 ω である ℚ₊ の良い順序付けられた部分半群 U ⊂ ℚ₊ を明示的に構成し、すべての n ≥ 1 に対して |U ∩ [n, n+1)| = C(2n, n) が成り立つようにした。この構成は、定理 2.1 の有界性を破る。
• この構成により、古典的制約（良い順序付けとアブハヤンカー不等式）だけでは、正標数ノエター局所環上の値半群を完全に特徴づけられないことが反例によって示された。
• 定理 2.1 の有界性は、1次元正則局所環ですら、鋭いものではない。実際、[0, (d+1)s₀) 内の実際の値の数は d であり、C(1+d, 1) = d+1 の有界性よりもはるかに小さい。
• 補題 2.2 により、次元 n の正則局所環に対し、同様の有界性がその値半群に対しても成り立つことが示された。
• このような反例の存在は、高次元における値半群を完全に特徴づけるために、追加の非自明な制約が必要であることを示している。