[論文レビュー] Semigroups related to additive and multiplicative, free and Boolean convolutions

Octavio Arizmendi, Takahiro Hasebe|arXiv (Cornell University)|May 17, 2011

Random Matrices and Applications参考文献 18被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、アダティブ自由畳み込みおよび乗法的自由畳み込みの両方における自由可除性指標を導入・分析し、BelinschiとNicaの半群枠組みを拡張する。指標がブールおよび自由べき演算の下で予測可能に変化することを確立し、Boçejkoのブールべきの自由無限可除性に関する予想を証明するとともに、ブールから自由へのBercovici-Pata双対写像の不動点をδ分布およびコーシー分布として同定する。

ABSTRACT

Belinschi and Nica introduced a composition semigroup on the set of probability measures. Using this semigroup, they introduced a free divisibility indicator, from which one can know whether a probability measure is freely infinitely divisible or not. In this paper we further investigate this indicator, introduce a multiplicative version of it and are able to show many properties. Specifically, on the first half of the paper, we calculate how the indicator changes with respect to free and Boolean powers; we prove that free and Boolean 1/2-stable laws have free divisibility indicators equal to infinity; we derive an upper bound of the indicator in terms of Jacobi parameters. This upper bound is achieved only by free Meixner distributions. We also prove Bozejko's conjecture which says the Boolean power of a probability measure mu by 0 < t < 1 is freely infinitely divisible if mu is so. In the other half of this paper, we introduce an analogous composition semigroup for multiplicative convolutions and define free divisibility indicators for these convolutions. Moreover, we prove that a probability measure on the unit circle is freely infinitely divisible concerning the multiplicative free convolution if and only if the indicator is not less than one. We also prove how the multiplicative divisibility indicator changes under free and Boolean powers and then the multiplicative analogue of Bozejko's conjecture. We include an appendix, where the Cauchy distributions and point measures are shown to be the only fixed points of the Boolean-to-free Bercovici-Pata bijection.

研究の動機と目的

• 加法的自由畳み込みにとどまらず、単位円上の乗法的自由畳み込みに対しても自由可除性指標の理論を拡張すること。
• 自由無限可除測度のブールべきに関するBoûejkoの予想を解決すること。
• ヤコビパラメータを用いた自由可除性指標の上界を特定し、その上界を達成する分布を同定すること。
• ブールから自由へのBercovici-Pata双対写像の不動点を同定し、長年の未解決問題を確認すること。
• 自由およびブールべきの下での自由可除性指標の変換法則を確立し、新たな構造的知見を提供すること。

提案手法

• 加法的自由畳み込みおよびブール畳み込みのための合成半群 $\mathbb{B}_t(\mu) = (\mu^{\boxplus(1+t)})^{\uplus 1/(1+t)}$ を構成する。
• 自由可除性指標 $\phi(\mu) = \sup\{t \geq 0 : \mu^{\uplus t} \text{ は自由に無限可除である}\}$ を定義し、これを半群の挙動と関連付ける。
• ヤコビパラメータ展開を用いて、四次モーメントが有限である測度に対して $\phi(\mu)$ の上界を導出する。
• スペクトル的およびモーメントに基づく解析を用いて、上界を達成するのは自由メイクナー分布に限ることを証明する。
• 単位円上の測度に対して、自由乗法的畳み込み $\boxtimes$ を用いた半群の乗法的アナロジーを導入する。
• 自由乗法的畳み込みにおける $\phi_{\text{mult}}(\mu) \geq 1$ と自由無限可除性との同値性を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 自由可除性指標 $\phi(\mu)$ は、ブールおよび自由べき演算の下でどのように振る舞うか。
• RQ2 測度 $\mu$ が自由に無限可除であれば、$\mu^{\uplus t}$ はすべての $t \in [0,1]$ に対して自由に無限可除であるか。 (Boûejkoの予想)
• RQ3 ヤコビパラメータを用いた自由可除性指標の上界は何か。また、どの測度がその上界を達成するか。
• RQ4 どの確率測度がブールから自由へのBercovici-Pata双対写像の不動点であるか。
• RQ5 単位円上での乗法的自由畳み込みにおける自由無限可除性の特徴づけは何か。

主な発見

• 自由可除性指標はすべての $t > 0$ に対して $\phi(\mu^{\uplus t}) = \phi(\mu)/t$ を満たし、スケーリング則が得られる。
• Boûejkoの予想が証明された：$\mu$ が自由に無限可除であれば、すべての $t \in [0,1]$ に対して $\mu^{\uplus t}$ は自由に無限可除である。
• 指数 $1/2$ の自由安定分布およびブール厳密安定分布の自由可除性指標は無限大である。
• ヤコビパラメータを用いた $\phi(\mu)$ の上界は、$\mu$ が自由メイクナー分布である場合にかつその場合にのみ達成される。
• δ分布およびコーシー分布が、ブールから自由へのBercovici-Pata双対写像の唯一の不動点である。
• 単位円上の確率測度は、乗法的自由畳み込みにおいて自由に無限可除であるための必要十分条件として、その乗法的自由可除性指標が1以上であることである。