[論文レビュー] Semiinfinite Flags. I. Case of global curve $P^1$

Michael Finkelberg, Ivan Mirković|ArXiv.org|Jul 9, 1997

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 13被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、単純な代数群 $G$ のフラッグ多様体へのクェイズマップの和として、$ℝ^1$ 上のグローバル半無限フラッグ空間を導入し、要因分解性質を備えた perverse ファンクターの圏 $PS$ を構成する。アフィングラスマンイアン上の Iwahori 定数 perverse ファンクターから $PS$ への正確な畳み込み関手を定義し、分割された量子群のモジュールから小量子群のモジュールへの制限を、幾何的サタケ型対応を通じて実現するという予想を提示する。

ABSTRACT

The Semiinfinite Flag Space appeared in the works of B.Feigin and E.Frenkel, and under different disguises was found by V.Drinfeld and G.Lusztig in the early 80-s. Another recent discovery (Beilinson-Drinfeld Grassmannian) turned out to conceal a new incarnation of Semiinfinite Flags. We write down these and other results scattered in folklore. We define the local semiinfinite flag space attached to a semisimple group $G$ as the quotient $G((z))/HN((z))$ (an ind-scheme), where $H$ and $N$ are a Cartan subgroup and the unipotent radical of a Borel subgroup of $G$. The global semiinfinite flag space attached to a smooth complete curve $C$ is a union of Quasimaps from $C$ to the flag variety of $G$. In the present work we use $C=P^1$ to construct the category $PS$ of certain collections of perverse sheaves on Quasimaps spaces, with factorization isomorphisms. We construct an exact convolution functor from the category of perverse sheaves on affine Grassmannian, constant along Iwahori orbits, to the category $PS$. Conjecturally, this functor should correspond to the restriction functor from modules over quantum group with divided powers to modules over the small quantum group.

研究の動機と目的

• $\mathbb{P}^1$ 上のグローバル半無限フラッグ空間を、単純な代数群 $G$ のフラッグ多様体へのクェイズマップをパラメータとする幾何的対象として形式化すること。
• クェイズマップ空間上に要因分解同型を備えた perverse ファンクターの圏 $PS$ を定義し、表現論に関連する幾何的構造を捉えること。
• アフィングラスマンイアン上の Iwahori 定数 perverse ファンクターの圏から $PS$ への正確な畳み込み関手を構成すること。
• 分割された量子群のモジュールから小量子群のモジュールへの制限関手の幾何的実現を、幾何的サタケ型対応を通じて提供すること。

提案手法

• $H$ をカルタン部分群、$N$ を $G$ のボレル部分群のユニポテンツ部分群とするとき、局所半無限フラッグ空間を ind-スキーム $G((z))/HN((z))$ として定義する。
• $ℝ^1$ 上のグローバル半無限フラッグ空間を、$ℝ^1$ から $G$ のフラッグ多様体へのクェイズマップの和として構成する。
• クェイズマップ空間に要因分解構造を導入し、これにより $PS$ と呼ばれる、この要因分解と整合する perverse ファンクターの圏を定義できるようにする。
• アフィングラスマンイアンと Beilinson-Drinfeld グラスマンイアンの幾何を用いて畳み込み関手を定義し、Iwahori 定数 perverse ファンクターを $PS$ に写像する。
• $G((z))/HN((z))$ の ind-スキーム構造を用いて局所半無限フラッグ空間をモデル化し、$ℝ^1$ 上のグローバル構成と関連付ける。
• Beilinson-Drinfeld グラスマンイアンに関する既知の結果を活用し、半無限フラッグの隠れた実現を解明し、クェイズマップ手法と統合する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $ℝ^1$ 上のグローバル半無限フラッグ空間を、$G$ のフラッグ多様体へのクェイズマップをパラメータとする幾何的対象として厳密に定義することは可能か？
• RQ2 クェイズマップのモジュライの要因分解性質から、クェイズマップ空間上の perverse ファンクターがどのような構造を引き継ぐのか？
• RQ3 アフィングラスマンイアン上の Iwahori 定数 perverse ファンクターの圏から、クェイズマップ空間上の要因分解 perverse ファンクターの圏 $PS$ への畳み込み関手を構成できるか？
• RQ4 この畳み込み関手の表現論的意味は何か、特に量子群との関係において。

主な発見

• $ℝ^1$ 上のグローバル半無限フラッグ空間は、$G$ のフラッグ多様体へのクェイズマップの和として実現され、グローバル設定における半無限フラッグ多様体の幾何的モデルを提供する。
• クェイズマップ空間上の perverse ファンクターの圏 $PS$ が構成され、要因分解同型構造を備え、アフィングラスマンイアン上の局所系の要因分解性質を一般化する。
• アフィングラスマンイアン上の Iwahori 定数 perverse ファンクターの圏から $PS$ への正確な畳み込み関手が定義され、要因分解および幾何的構造を保存する。
• この畳み込み関手は、分割された量子群のモジュールから小量子群のモジュールへの制限関手と、予想では同型である。これにより、代数的構成の幾何的実現が得られる。