[論文レビュー] Semilinear equations, the $γ_k$ function, and generalized Gauduchon metrics

Jixiang Fu, Zhizhang Wang+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 11, 2010

Geometry and complex manifolds参考文献 16被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、$\gamma_k$ 関数を用いて一般化されたGauduchon計量を導入し、コンpact複素多様体上での $k$-th Gauduchon計量の存在を示すために非線形偏微分方程式を解く。任意のHermitian計量に対して、一意的な共形因子 $e^v$ が存在し、$\partial\bar{\partial}(e^v\omega^k)\wedge\omega^{n-k-1} = \gamma_k e^v \omega^n$ を満たす。ここで $\gamma_k$ は定数の障害であり、Gauduchonの古典的結果を非Kähler設定に拡張する。

ABSTRACT

In this paper, we generalize the Gauduchon metrics on a compact complex manifold and define the $γ_k$ functions on the space of its hermitian metrics.

研究の動機と目的

• $k=n-1$ の場合を超えてGauduchon計量を一般化し、$\partial\bar{\partial}(\omega^k)\wedge\omega^{n-k-1}=0$ を満たす $k$-th Gauduchon計量を定義すること。
• 与えられたHermitian計量の共形類内でのこのような計量の存在問題を、$\gamma_k$ 関数を含む非線形偏微分方程式の解法により解決すること。
• $\gamma_k$ 関数を共形不変量として定義し、$k$-th Gauduchon計量の存在に対する障害を測定すること。
• 任意のコンpactなHermitian多様体に対して、一意的な $\gamma_k$ と、共形方程式 $\partial\bar{\partial}(e^v\omega^k)\wedge\omega^{n-k-1} = \gamma_k e^v \omega^n$ の解 $v$ が存在することを証明し、Gauduchonの結果を一般化すること。
• $X_\Lambda = \#_k(S^3\times S^3)$ および $S^5\times S^1$ といった特定の非Kähler多様体上で1-Gauduchon計量の存在を示し、$S^5\times S^1$ 上に全純閉またはバランス型計量が存在しないことを示すこと。

提案手法

• $\omega$ をHermitian計量とするとき、共形方程式 $\partial\bar{\partial}(e^v\omega^k)\wedge\omega^{n-k-1} = \gamma_k e^v \omega^n$ を用いて、$\gamma_k$ 関数を定義する。
• 問題を形式 $\Delta v + \psi(|\nabla v|^2) + \langle B, dv \rangle = f + c$ の非線形楕円型偏微分方程式に還元し、$\psi(t) = t$ のとき $\gamma_k$ の場合に回帰する。
• コンpact多様体上での非線形方程式の事前推定と存在理論を適用し、$\mu > 1/2$ のもとで $\liminf_{t\to\infty} \psi(t)/t^\mu \geq \nu > 0$ の極限条件を用いる。
• 発散定理と部分積分を用いて、PDEの可解性に必要な適合条件を導出し、定数 $c$ が一意に定まることを保証する。
• $X_\Lambda = \#_k(S^3\times S^3)$ および $S^5\times S^1$ 上に明示的なHermitian計量 $\omega_0$ を構成し、$\gamma_1$ を計算し、その符号を確認する。
• トポロジカル障害（例えば、コhomologyの消失、ゼロ同調する超曲面の存在）を用いて、$S^5\times S^1$ 上にバランス型または全純閉計量が存在しないことを除外する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コンpact非Kähler複素多様体上で、$1 \leq k \leq n-2$ の $k$-th Gauduchon計量は存在するか？
• RQ2 与えられたHermitian計量の共形類内でのこのような計量の存在は、非線形偏微分方程式の解法によって保証可能か？
• RQ3 $\gamma_k$ 関数が共形不変量として果たす役割と、$k$-th Gauduchon計量の存在に対する障害としての役割は何か？
• RQ4 明示的な多様体例として、1-Gauduchon計量を有するが、全純閉またはバランス型計量を有さない多様体は存在するか？
• RQ5 特定のコンpact複素多様体上での全純閉またはバランス型計量の存在を妨げるトポロジカルまたは幾何学的条件は何か？

主な発見

• 任意のコンpact $n$-次元Hermitian多様体および任意の $1 \leq k \leq n-1$ に対して、一意的な定数 $\gamma_k$ と滑らかな関数 $v$（定数の加法的自由度を除いて一意）が存在し、$\partial\bar{\partial}(e^v\omega^k)\wedge\omega^{n-k-1} = \gamma_k e^v \omega^n$ を満たす。これはGauduchonの結果を一般化する。
• $k = n-1$ のとき $\gamma_{n-1} = 0$ となり、Gauduchonの元の定理が回復される。$\omega$ がKähler計量のとき、すべての $k$ に対して $\gamma_k = 0$ である。
• $X_\Lambda = \#_k(S^3\times S^3)$ 上では $\gamma_1 = -1$ であるため、$-1 \in \Xi_1(X_\Lambda)$ であり、$\Xi_1(X_\Lambda) = \{-1, 0, 1\}$ である。これにより1-Gauduchon計量の存在が証明される。
• $S^5\times S^1$ 上では $\gamma_1 < 0$ であるため、$-1 \in \Xi_1(S^5\times S^1)$ であり、$0 \in \Xi_1(S^5\times S^1)$ である。これにより1-Gauduchon計量の存在が確認される。
• $S^5\times S^1$ 上には全純閉計量が存在しない。これは $\int \partial\bar{\partial}\omega \wedge \omega_0 < 0$ と $\omega \wedge \pi^*\omega_{FS}^2$ の正定値性を用いた背理法により示される。また、ゼロ同調する複素超曲面の存在によりバランス型計量も存在しない。
• $\gamma_k$ 関数は共形不変量である：$\gamma_k$ は $\omega$ の共形類にのみ依存し、$\gamma_k = 0$ であることは、その類に $k$-th Gauduchon計量が存在することと同値である。