[論文レビュー] Semilinear fractional elliptic equations involving measures

Huyuan Chen, Лаурент Верон|arXiv (Cornell University)|May 4, 2013

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 31被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、$\alpha \in (0,1)$ における分数ラプラシアン $(-\Delta)^\alpha$ を用いた、ルダン測度を含む非線形分数ラプラシアン楕円型方程式に対して、弱解の存在および一意性を確立する。部分的非線形性に対しては、任意のルダン測度に対して解が存在するが、$g(u) = |u|^{k-1}u$ という上昇型非線形性に対しては、測度が特定のベッセル容量 $C_{2\alpha,k'}$ に関して絶対連続であるときにかつそのときに限り解が存在する。これらの結果は、古典的ラプラシアンに対する結果を分数的設定に拡張するものである。

ABSTRACT

We study the existence of weak solutions of (E) $ (-Δ)^αu+g(u)=ν$ in a bounded regular domain $Ω$ in $\R^N (N\ge2)$ which vanish on $\R^N\setminusΩ$, where $(-Δ)^α$ denotes the fractional Laplacian with $α\in(0,1)$, $ν$ is a Radon measure and $g$ is a nondecreasing function satisfying some extra hypothesis. When $g$ satisfies a subcritical integrability condition, we prove the existence and uniqueness of a weak solution for problem (E) for any measure. In the case where $ν$ is Dirac measure, we characterize the asymptotic behavior of the solution. When $g(r)=|r|^{k-1}r$ with $k$ supercritical, we show that a condition of absolute continuity of the measure with respect to some Bessel capacity is a necessary and sufficient condition in order (E) to be solved.

研究の動機と目的

• 古典的ラプラシアンから分数ラプラシアン $(-\Delta)^\alpha$（$\alpha \in (0,1)$）への測度データ付き非線形楕円型方程式の存在および一意性結果の拡張。
• 有界な $C^2$ 域 $\Omega$ において、$\nu$ をルダン測度、$g$ を非減少関数とするとき、$(-\Delta)^\alpha u + g(u) = \nu$ の可解性の特定。
• $g(u) = |u|^{k-1}u$ かつ $k$ が超臨界の場合の弱解の存在に必要な十分条件の同定。
• 古典的ラプラシアンの $C_{2,p'}$ 容量に類似した、分数方程式における測度データの臨界性を特徴付けるベッセル容量の役割の一般化。

提案手法

• 弱解は、有界性および分数ラプラシアン作用の正則性を保証する関数空間 $\mathbb{X}_\alpha$ を用いた双対性による定義。
• 部分的非線形性 $g$ に対しては、マルチンキエヴィッチ空間における線形推定と、$\rho^\alpha$ による重み付き $g(u)$ の事前評価を用いて存在および一意性を証明。ここで $\rho$ は境界からの距離を表す。
• べき関数型のケース $g(u) = |u|^{k-1}u$ に対しては、切断法を用いる：非線形性を局所化するため $T_n(u)$ を定義し、正則化された問題の系列を解く。
• ベッセル容量 $C_{2\alpha,k'}$ に関する絶対連続性の必要性と十分性は、ホルダーの不等式およびリーマン・ポテンシャルのソボレフ埋め込みを用いたテスト関数評価と容量評価により確立される。
• 双対性の議論により、$C_{2\alpha,k'}(K) = 0$ ならば $\nu(K) = 0$ であることを示し、容量条件の必要性を証明。
• グリーン核 $G$ 及びその性質を用いて解を $\mathbb{G}[\nu]$ で制御し、$W^{2\alpha,k'}$ 空間におけるリーマン・ポテンシャルの正則性結果を適用。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非線形性 $g$ および測度 $\nu$ がどのような条件下で、有界な $C^2$ 域 $\Omega$ における分数ラプラシアン楕円型方程式 $(-\Delta)^\alpha u + g(u) = \nu$ が弱解をもつのか。
• RQ2 $g(u) = |u|^{k-1}u$ かつ $k$ が超臨界の場合、ベッセル容量 $C_{2\alpha,k'}$ が方程式の可解性に果たす正確な役割は何か。
• RQ3 非線形性 $g$ の部分的可積分性条件が、任意のルダン測度 $\nu$ に対して弱解の存在および一意性を保証するのはなぜか。
• RQ4 $\nu$ がデルタ測度であるとき、解の漸近的挙動はどのように特徴づけられるか。
• RQ5 $g(u) = |u|^{k-1}u$ かつ $k$ が超臨界の場合、$\nu$ が $C_{2\alpha,k'}$ に関して絶対連続であることは、解の存在にとって必要かつ十分であるか。

主な発見

• 任意の非減少関数 $g$ が部分的可積分性条件を満たす場合、任意のルダン測度 $\nu$ に対して、$\int_\Omega \rho^\beta d|\nu| < \infty$ を満たす $\beta \in [0,\alpha]$ が存在するとき、方程式 $(-\Delta)^\alpha u + g(u) = \nu$ は一意な弱解をもつ。
• 測度 $\nu$ がデルタ測度である場合、解はグリーン核の特異性によって特徴づけられる、濃度点近傍での明確な漸近的挙動を示す。
• $k > 1$ が超臨界であるべき非線形性 $g(u) = |u|^{k-1}u$ の場合、解が存在するための必要十分条件は、$\nu$ がベッセル容量 $C_{2\alpha,k'}$ に関して絶対連続であることである。ここで $k'$ は $k$ のホルダー共役である。
• 容量条件の必要性は、$W^{2\alpha,k'}$-ノルムがゼロに収束するテスト関数列 $\phi_n$ を構成することで示され、$C_{2\alpha,k'}(K) = 0$ ならば $\nu(K) = 0$ となるため、測度が零容量集合上で消失しなければならないことが示される。
• 十分性は、$\nu$ を $W^{-2\alpha,k}(\Omega)$ に属する測度で近似し、切断された非線形性を用いた正則化問題を解き、$L^1(\Omega)$ 及び $L^k(\Omega, \rho^\alpha dx)$ での収束を用いて極限に移ることで証明される。
• 符号付き測度に対しては、$C_{2\alpha,k'}(K) = 0 \Rightarrow |\nu|(K) = 0$ が可解性に十分であるが、その必要性は未解決のままである。