[論文レビュー] Semilinear Stochastic Evolution Equations with Lévy Noise and Monotone Nonlinearity

Erfan Salavati, Bijan Z. Zangeneh|arXiv (Cornell University)|Apr 8, 2013

Stochastic processes and financial applications参考文献 28被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、単調な非線形勾配とLévyノイズで駆動される半線形確率的進化方程式の弱解の存在、一意性、安定性を、反復法と、Lévyノイズによる確率的畳み込み積分のための新規イト型不等式を用いて確立する。主な貢献は、係数に対する強制的条件を要件としないことにより、双曲型SPDEや遅延方程式への応用範囲を拡大することにある。

ABSTRACT

Semilinear stochastic evolution equations with multiplicative Lévy noise and monotone nonlinear drift are considered. Unlike other similar work we do not impose coercivity conditions on coefficients. Existence and uniqueness of the mild solution is proved using an iterative method. The continuity of the solution with respect to initial conditions and coefficients is proved and a sufficient condition for exponential asymptotic stability of the solutions has been derived. The solutions are proved to have a Markov property. Examples on stochastic partial differential equations and stochastic delay equations are provided to demonstrate the theory developed. The main tool in our study is an Itô type inequality which gives a pathwise bound for the norm of stochastic convolution integrals.

研究の動機と目的

• 乗法的Lévyノイズと単調非線形勾配を有する半線形確率的進化方程式の弱解の存在と一意性を確立すること。
• 従来の研究で制限を受ける係数に対する強制的条件の必要性を排除すること。
• 初期条件および係数に関して解の連続性を証明すること。
• 解の指数的漸近的安定性の十分条件を導出すること。
• 解過程のマルコフ性を示し、SPDEおよび確率的遅延方程式の例を通じて理論を検証すること。

提案手法

• 非線形勾配および拡散係数の単調性およびリプシッツ条件の下で、反復法を用いて弱解を構成する。
• Lévyノイズによって駆動される確率的畳み込み積分のノルムに対する経路的バインドを提供する、新規のイト型不等式を導入する。
• ヒルベルト空間上での$C_0$半群の無限小生成作用素を用いた半群的アプローチを適用する。
• 有界でない作用素を扱い、勾配の単調性を保証するために、稠密埋め込み$B \subset H \subset B^*$を用いた変分的フレームワークを用いる。
• 2階の双曲型SPDEおよび確率的遅延方程式を、積空間における1階系に還元することで、主定理の適用を可能にする。
• 適切なソボレフ空間およびルベーグ空間の埋め込みのもとで、変換された係数が所定の単調性およびリプシッツ条件を満たすことを検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 強制的条件を課さずに、Lévyノイズと単調勾配を有する半線形SPDEの弱解を確立できるか？
• RQ2 Lévyノイズによって駆動される確率的畳み込み積分に対して、どのような経路的推定が可能か？ また、それらは存在性および安定性の証明にどのように応用できるか？
• RQ3 乗法的Lévyノイズが存在する状況下で、解は初期条件および係数に関して連続的依存するか？
• RQ4 解が指数的漸近的安定性を示すための条件は何か？
• RQ5 Lévyノイズと単調勾配を有する一般設定下で、解過程はマルコフ性を有するか？

主な発見

• 強制的条件を要件としないLévyノイズと単調非線形勾配を有する方程式に対し、弱解の存在と一意性が確立された。
• 初期条件および係数に関して解が連続的であることが証明され、摂動に対してロバストであることが保証された。
• 解の指数的漸近的安定性の十分条件が導出され、単調性定数およびノイズ強度に依存する。
• 解過程がマルコフ性を有することを示し、遷移核などの確率的ツールの使用が可能になった。
• 2つの例を通じて理論の妥当性が検証された：適切なソボレフ埋め込みを有するヒルベルト空間上の確率的放物型SPDEと、2階の確率的双曲型方程式。
• イト型不等式は、確率的畳み込み積分に対する重要な経路的バインドを提供し、存在性および安定性の反復的証明を可能にした。