[論文レビュー] Strong solutions for SPDE with locally monotone coefficients driven by Lévy noise

Zdzisław Brzeźniak, Wei Liu+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 1, 2011

Stochastic processes and financial applications参考文献 30被引用数 16

ひとこと要約

本稿は、Lévyノイズによって駆動される局所的単調係数をもつ確率的偏微分方程式（SPDEs）の強解の存在および一意性を統一的な枠組みで確立する。ガウス型でない、ジャンプ型のLévyノイズへの変分的手法の拡張により、著者らは、確率的2次元ナビエ＝ストークス方程式、反応拡散方程式、非ニュートン流体方程式を含む広範なSPDEのクラスに対して強解を証明する。これは、より弱い単調性および成長条件のもとで、先行研究を一般化するものである。

ABSTRACT

Motivated by applications to a manifold of semilinear and quasilinear stochastic partial differential equations (SPDEs) we establish the existence and uniqueness of strong solutions to coercive and locally monotone SPDEs driven by Lévy processes. We illustrate the main result of our paper by showing how it can be applied to various types of SPDEs such as stochastic reaction-diffusion equations, stochastic Burgers type equations, stochastic 2D hydrodynamical systems and stochastic equations of non-Newtonian fluids, which generalize many existing results in the literature.

研究の動機と目的

• Lévyノイズによって駆動される局所的単調係数をもつSPDEの強解のための一般な変分的枠組みを構築すること。
• ウィーナーノイズによって駆動されるSPDEに関する先行結果を、より一般的な乗法的Lévyノイズのケースに拡張すること。
• 確率的2次元ナビエ＝ストークス方程式、バーガース型方程式、非ニュートン流体方程式などの既存のSPDEの存在および一意性の結果を統一的かつ一般化すること。
• 構造的条件（H1）–（H4）の厳密な検証を通じて、この枠組みが具体的なSPDEへの適用可能性を検証すること。
• 非リプシッツ型非線形項および小さなジャンプをもつLévyノイズを扱えるように、従来の手法の制限を克服すること。

提案手法

• ガウス型ノイズからジャンプ型ノイズへの局所的単調性手法の拡張により、SPDEの変分的枠組みに乗法的Lévyノイズを組み込む。
• 一般化された伊藤の公式とヒルベルト空間におけるエネルギー推定を用いて、局所的単調条件のもとで非線形駆動項および拡散項を制御する。
• 鍵となる構造的仮定（H1）–（H4）の検証：局所的単調性、強制性、成長バウンド、ノイズ係数の可積分性。
• クリロフ＝ボゴリューボフ法と緊密性の議論を用いて、ガラーキン近似を介してグローバルな強解を構成する。
• 補間不等式およびコーブの不等式を用いて、非ニュートン流体方程式における非線形項を制御する。
• カシミンスキーのテストとパスごとの一意性を用いて、局所的可解性の後にグローバル存在を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ウィーナーノイズによって駆動される局所的単調係数をもつSPDEの変分的枠組みを、Lévyノイズによって駆動されるSPDEに拡張できるか？
• RQ2 局所的単調係数をもつSPDEに、乗法的Lévyノイズが作用する場合、強解が一意に存在するための係数およびノイズに関する条件は何か？
• RQ3 この枠組みは、Lévyノイズをもつ確率的2次元ナビエ＝ストークス方程式や非ニュートン流体方程式といった具体的なSPDEにどのように適用できるか？
• RQ4 存在性および一意性を保証するための、ノイズおよび非線形項の最小限の可積分性および成長条件は何か？
• RQ5 非リプシッツ型非線形項およびLévyノイズの小さなジャンプを扱えるか、特に流体力学的方程式においてその方法が有効であるか？

主な発見

• 本稿は、Lévyノイズによって駆動される局所的単調係数をもつ広範なSPDEクラスについて、弱い可積分性および成長条件のもとで、強解の存在および一意性を確立する。
• 本枠組みは、ウィーナーノイズをもつSPDEに関する先行研究を一般化・改善し、確率的2次元ナビエ＝ストークス方程式や非ニュートン流体方程式の結果を含む。
• 乗法的Lévyノイズをもつパワー則流体方程式については、$ p /geq rac{d+2}{2} $ のとき、$ L^4( ext{loc}; L^4( ext{div-free vector fields})) $ において一意な強解が存在する。
• 強制性条件は、コーブの不等式および応力テンソルの点ごとの推定により検証され、駆動項の必要十分な下界が保証される。
• 成長条件（H4）は、エネルギー空間における補間およびソボレフ埋め込み推定により、$ p /geq rac{d+2}{2} $ のとき満たされる。
• 解が非リプシッツ型非線形項およびジャンプ型ノイズをもつ場合でも、パスごとの一意性およびグローバル存在を保証するため、カシミンスキーのテスト条件が検証された。